Seja
. Obtenha a densidade de
. Esta densidade é chamada lognormal
Passo 1
O enunciado diz que temos uma variável aleatória X que segue uma Normal com média μ e variância σ², isto é
Queremos achar a densidade de Y = e^X.
Conteúdo da matéria: transformação de variáveis contínuas – usar a regra
Conteúdo da matéria: transformação de variáveis contínuas – usar a regra
onde g(x)=e^x.
Passo 2
Primeiro identificamos a transformação:
g(x)=e^x ⟹ Y=e^X.
Como e^x é sempre crescente em x∈ℝ, ela é invertível, e a inversa é
g(x)=e^x ⟹ Y=e^X.
Como e^x é sempre crescente em x∈ℝ, ela é invertível, e a inversa é
Então já sabemos que, para y>0,
Passo 3
Calculando a derivada da inversa:
Logo o jacobiano em valor absoluto é 1/y.
A densidade de X é
A densidade de X é
Substituindo x=ln y e multiplicando pelo fator 1/y, fica
Passo 4
Reescrevendo de forma mais limpinha e deixando claro o domínio y>0:
Resposta
A densidade de
fY(y) =1y,sigmaraiz2pi exp!l(-(ln y-mu)^22sigma^2r), y>0, é
que é justamente a distribuição lognormal.