Seja X sim N(mu, sigma^2). Obtenha a densidade de Y=e^X. Esta densidade é chamada lognormal

Passo 1

O enunciado diz que temos uma variável aleatória X que segue uma Normal com média μ e variância σ², isto é
X sim N(mu,sigma^2)
Queremos achar a densidade de Y = e^X.
Conteúdo da matéria: transformação de variáveis contínuas – usar a regra
fY(y) = fXl(g^-1(y)r),l|ddyg^-1(y)r|,
onde g(x)=e^x.

Passo 2

Primeiro identificamos a transformação:
g(x)=e^x ⟹ Y=e^X.
Como e^x é sempre crescente em x∈ℝ, ela é invertível, e a inversa é
g^-1(y)=ln(y), y>0
Então já sabemos que, para y>0,
fY(y)=fXl(ln yr),gl|ddyln(y)gr|

Passo 3

Calculando a derivada da inversa:
ddyln(y)=1y
Logo o jacobiano em valor absoluto é 1/y.
A densidade de X é
fX(x)=1sigmaraiz2piexp!l(-(x-mu)^22sigma^2r)
Substituindo x=ln y e multiplicando pelo fator 1/y, fica
fY(y) =1sigmaraiz2piexp!l(-(ln y-mu)^22sigma^2r)times1y

Passo 4

Reescrevendo de forma mais limpinha e deixando claro o domínio y>0:
fY(y) =1y,sigmaraiz2pi;exp!l(-(ln y-mu)^22sigma^2r), y>0

Resposta

A densidade de fY(y) =1y,sigmaraiz2pi exp!l(-(ln y-mu)^22sigma^2r), y>0, é
que é justamente a distribuição lognormal.

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