Sejam X e Y v…s com densidade conjunta
fX, Y(x, y)=raiz154 pi exp [-(x^2-x y+4 y^2)2], (x, y) in R^2
Determine o coeficiente de correlação entre X e Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o coeficiente de correlação entre duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ que têm uma densidade conjunta específica. Esse problema está dentro do estudo de distribuição conjunta de variáveis aleatórias, em especial, distribuições normais multivariadas. Para resolver, vamos precisar entender como obter a covariância entre $ X $ e $ Y $ e as variâncias de cada uma delas a partir da função de densidade fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função de densidade conjunta dada:
fX, Y(x, y) = raiz154 pi exp [-x^2 - x y + 4 y^22]
Essa forma da densidade sugere que $ X $ e $ Y $ seguem uma distribuição normal bivariada com média zero (já que não há termos lineares em $ x $ ou $ y $ no expoente).

Passo 3

Em uma distribuição normal bivariada, a função de densidade pode ser escrita da seguinte forma:
fX,Y(x,y) = 12pi raiz|Sigma| exp(-12 x & y Sigma^-1 x y )
Comparando com a nossa função de densidade, podemos identificar que:
12 x & y Sigma^-1 x y = x^2 - x y + 4 y^22
Portanto, a matriz inversa da covariância $ \Sigma^{-1} $ é igual à matriz de coeficientes do quadrado no expoente:
Sigma^-1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a matriz de covariância $ \Sigma $ invertendo $ \Sigma^{-1} $. Para uma matriz 2x2:
Sigma
A inversa $ \Sigma $ é dada por:
Sigma^-1
Aplicando os valores:
Sigma^-1 = a & b b & c
Calculando o determinante:
Sigma
Portanto:
Sigma = 1ac - b^2 c & -b -b & a

Passo 5

A matriz de covariância $ \Sigma $ está dada por:
Sigma
Então, temos:
Sigma = Var(X) & Cov(X,Y) Cov(X,Y) & Var(Y) = 1615 & 215 215 & 415

Passo 6

Agora, vamos calcular o coeficiente de correlação $ \rho_{XY} $, que é dado por:
rhoXY
Substituindo os valores encontrados:
rhoXY = Cov(X,Y)raizVar(X) cdot Var(Y)

Resposta

O coeficiente de correlação entre $ X $ e $ Y $ é $ \rho_{XY} = 0,25 $.

Exercícios relacionados