Sejam
e
v…s com densidade conjunta
Determine o coeficiente de correlação entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o coeficiente de correlação entre duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ que têm uma densidade conjunta específica. Esse problema está dentro do estudo de distribuição conjunta de variáveis aleatórias, em especial, distribuições normais multivariadas. Para resolver, vamos precisar entender como obter a covariância entre $ X $ e $ Y $ e as variâncias de cada uma delas a partir da função de densidade fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função de densidade conjunta dada:
Essa forma da densidade sugere que $ X $ e $ Y $ seguem uma distribuição normal bivariada com média zero (já que não há termos lineares em $ x $ ou $ y $ no expoente).
Passo 3
Em uma distribuição normal bivariada, a função de densidade pode ser escrita da seguinte forma:
Comparando com a nossa função de densidade, podemos identificar que:
Portanto, a matriz inversa da covariância $ \Sigma^{-1} $ é igual à matriz de coeficientes do quadrado no expoente:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a matriz de covariância $ \Sigma $ invertendo $ \Sigma^{-1} $. Para uma matriz 2x2:
A inversa $ \Sigma $ é dada por:
Aplicando os valores:
Calculando o determinante:
Portanto:
Passo 5
A matriz de covariância $ \Sigma $ está dada por:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o coeficiente de correlação $ \rho_{XY} $, que é dado por:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
O coeficiente de correlação entre $ X $ e $ Y $ é $ \rho_{XY} = 0,25 $.