Seja X \sim N\left(\frac{5}{4}, \frac{1}{9}\right). Determine:
P\left(X \leq \frac{7}{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a variável aleatória X seja menor ou igual a \dfrac{7}{5}, sabendo que X tem distribuição normal com média e variância dadas. Vou listar os dados fornecidos:
  • X \sim N\!\left(\dfrac{5}{4}, \dfrac{1}{9}\right).
  • Queremos calcular P\!\left(X \le \dfrac{7}{5}\right).

Passo 2

Ideia chave (sem usar jargão pesado): para uma Normal qualquer é muito prático transformar a variável em uma Normal padrão, que chamamos de Z e que tem média 0 e desvio-padrão 1. A transformação é feita por padrão com a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média de X e \sigma é o desvio-padrão de X. Explicando cada símbolo:
  • X é a variável original.
  • \mu é a média (esperança) de X.
  • \sigma é o desvio-padrão de X (raiz quadrada da variância).
  • Z é a nova variável padronizada, Z\sim N(0,1).
Depois de achar Z, usamos a função de distribuição acumulada da Normal padrão, denotada por \Phi(\cdot), que dá \Phi(z)=P(Z\le z). Assim
P\!\left(X\le a\right)=\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).

Passo 3

Calcular a média e o desvio-padrão a partir dos dados:
  • A média é \mu=\dfrac{5}{4}.
  • A variância é \mathrm{Var}(X)=\dfrac{1}{9}, então o desvio-padrão é
\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}.

Passo 4

Padronizar o ponto \dfrac{7}{5}. Primeiro calcule a diferença a-\mu:
\frac{7}{5}-\frac{5}{4}=\frac{28-25}{20}=\frac{3}{20}=0,15.
Agora divida pela \sigma=\dfrac{1}{3}:
z=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{20}\cdot\frac{3}{1}=\frac{9}{20}=0,45.
Portanto
P\!\left(X\le\frac{7}{5}\right)=\Phi\!\left(0,45\right).

Passo 5

Como obter o valor numérico de \Phi(0,45):
  • Pode-se usar uma tabela da Normal padrão ou uma calculadora/software estatístico. Nas tabelas usuais, \Phi(0,45) é aproximadamente 0,6736.
  • Explicando rápido: \Phi(0,00)=0,5 e \Phi cresce com z; para z=0,45 a tabela dá 0,6736. Se precisar de mais casas, usar calculadora/soft dará valores mais precisos, mas para provas normalmente 4 casas decimais já bastam.

Passo 6

Interpretação final (para sua prova): a probabilidade pedida é o valor da função de distribuição da Normal padrão em 0,45. Em termos práticos, isso significa que X tem cerca de 67,36\% de chance de ser menor ou igual a \dfrac{7}{5}.

Resposta

P\!\left(X\le\frac{7}{5}\right)=\Phi\!\left(0,45\right)\approx 0,6736

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