Seja X \sim N\left(\mu ; \sigma^{2}\right);
Calcule o valor de k tal que P(X<\mu+k \sigma)=0.1.

Passo 1

O enunciado diz que X segue uma normal N(\mu,\sigma^{2}) e pede o valor de k tal que
P\bigl(X<\mu+k\sigma\bigr)=0,1.
O conteúdo é padronização de variável normal e uso da tabela (ou inversa) da normal padrão para achar quantis.

Passo 2

Padronizando X, definimos
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que satisfaz Z\sim N(0,1). Então
P\bigl(X<\mu+k\sigma\bigr)=P\Bigl(Z<\frac{\mu+k\sigma-\mu}{\sigma}\Bigr)=P(Z<k).

Passo 3

A condição fica
P(Z<k)=0,1,
ou seja, k é o quantil de probabilidade 0,1 da normal padrão, isto é
k=\Phi^{-1}(0,1).

Passo 4

Consultando tabela ou calculadora da normal padrão, obtém-se
\Phi^{-1}(0,1)\approx -1,2816.

Resposta

k=\Phi^{-1}(0,1)\approx -1,2816.

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