Suponha que o peso de uma fruta (em gramas) segue N\left(200,25^{2}\right).
  1. Qual a probabilidade de uma fruta pesar mais de 225 g ?
  2. Qual 0 peso máximo entre os 10 \% mais leves?

Passo 1

O enunciado diz que o peso X de uma fruta (em gramas) segue a distribuição N\left(200,25^{2}\right). Temos duas perguntas claras:
  1. Qual a probabilidade de uma fruta pesar mais de 225 g?
  2. Qual é o peso máximo entre os 10\% mais leves (ou seja, o 10º percentil)?
Informações relevantes dadas:
  • média (esperança) \mu = 200 (g);
  • desvio padrão \sigma = 25 (g);
  • a distribuição é normal com variância \sigma^{2}=25^{2}.

Passo 2

Entendendo a ferramenta que vamos usar (explicação didática).
Quando trabalhamos com probabilidades de uma variável com distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, é muito útil transformar essa variável numa variável padrão Z que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é o peso da fruta (variável original);
  • \mu é a média de X;
  • \sigma é o desvio padrão de X;
  • Z é a nova variável, chamada distribuição normal padrão, com média 0 e desvio padrão 1.
Por que isso ajuda? Porque tabelas (ou calculadoras) nos dão probabilidades para Z — isto é, valores de \Phi(z)=P(Z\le z). Para qualquer X normal, transformamos para Z e usamos essas tabelas.
Vou aplicar essa ideia às duas perguntas. Sempre que eu escrever \Phi(\cdot) refiro-me à função distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 3

Resolvendo a pergunta 1: P(X>225).
  1. Padronizo X usando a fórmula:
z=\frac{225-\mu}{\sigma}=\frac{225-200}{25}=\frac{25}{25}=1.
  1. Assim
P(X>225)=P\!\left(Z>1\right).
  1. Usando a tabela da normal padrão sabemos que
\Phi(1)=P(Z\le 1)=0{,}8413.
  1. Portanto
P(Z>1)=1-\Phi(1)=1-0{,}8413=0{,}1587.
Interpretação rápida: cerca de 15{,}87\% das frutas pesam mais de 225 g.

Passo 4

Resolvendo a pergunta 2: peso máximo entre os 10\% mais leves (o 10º percentil).
  1. Por definição, o 10º percentil x_{0,10} satisfaz
P(X\le x_{0,10})=0{,}10.
  1. Padronizando,
P\!\left(Z\le\frac{x_{0,10}-\mu}{\sigma}\right)=0{,}10.
  1. Chamo z_{0{,}10} o quantil padrão correspondente a 0{,}10, isto é,
z_{0{,}10}=\Phi^{-1}(0{,}10).
Consultando a tabela inversa (ou calculadora), obtemos aproximadamente
z_{0{,}10}\approx -1{,}2816.
Explicação rápida de onde vem esse número: a tabela inversa dá o valor de z cuja área acumulada à esquerda é 0{,}10. Em tabelas padrão isso aparece perto de -1{,}28; um valor mais preciso é -1{,}2816.
4. Agora desfazemos a padronização para achar x_{0,10}:
x_{0,10}=\mu + z_{0{,}10}\cdot\sigma.
Substituindo:
x_{0,10}=200 + (-1{,}2816)\cdot 25.
  1. Calculo detalhado (passo a passo de multiplicação para você poder reproduzir sem calculadora avançada):
25\cdot 1{,}2816 = 25\cdot 1 + 25\cdot 0{,}2816 = 25 + 7{,}04 = 32{,}04.
Como o sinal de z é negativo:
x_{0,10}=200-32{,}04=167{,}96\\ \text{g}.
Interpretação: o peso máximo entre os 10\% mais leves é aproximadamente 167{,}96 g — ou seja, cerca de 168 g.

Passo 5

Resumo e motivação rápida: você aprendeu a padronizar com \displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma}, usar \Phi para probabilidades à esquerda e \Phi^{-1} para percentis. Fazendo esses passos com cuidado você resolve qualquer pergunta parecida (probabilidade acima de um valor ou percentil). Vai dar certo na prova — respira fundo e fixa esse procedimento na cabeça: padronizar → usar tabela → (se preciso) inverter.

Resposta

  1. 0{,}1587
  2. 167{,}96\\ \text{g}

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