Suponha que o peso de uma fruta (em gramas) segue
.
- Qual a probabilidade de uma fruta pesar mais de 225 g ?
- Qual 0 peso máximo entre os
mais leves?
Passo 1
O enunciado diz que o peso
de uma fruta (em gramas) segue a distribuição
. Temos duas perguntas claras:
- Qual a probabilidade de uma fruta pesar mais de
g? - Qual é o peso máximo entre os
mais leves (ou seja, o º percentil)?
Informações relevantes dadas:
- média (esperança)
(g); - desvio padrão
(g); - a distribuição é normal com variância
.
Passo 2
Entendendo a ferramenta que vamos usar (explicação didática).
Quando trabalhamos com probabilidades de uma variável com distribuição normal com média e desvio padrão
, é muito útil transformar essa variável numa variável padrão
que tem média
e desvio padrão
. A fórmula de padronização é
Quando trabalhamos com probabilidades de uma variável com distribuição normal com média
Aqui:
-
é o peso da fruta (variável original); -
é a média de ; -
é o desvio padrão de ; -
é a nova variável, chamada distribuição normal padrão, com média e desvio padrão .
Por que isso ajuda? Porque tabelas (ou calculadoras) nos dão probabilidades para
— isto é, valores de
. Para qualquer
normal, transformamos para
e usamos essas tabelas.
Vou aplicar essa ideia às duas perguntas. Sempre que eu escrever
refiro-me à função distribuição acumulada da normal padrão.
Passo 3
Resolvendo a pergunta 1:
.
- Padronizo
usando a fórmula:
- Assim
- Usando a tabela da normal padrão sabemos que
- Portanto
Interpretação rápida: cerca de
das frutas pesam mais de
g.
Passo 4
Resolvendo a pergunta 2: peso máximo entre os
mais leves (o
º percentil).
- Por definição, o
º percentil satisfaz
- Padronizando,
- Chamo
o quantil padrão correspondente a , isto é,
Consultando a tabela inversa (ou calculadora), obtemos aproximadamente
Explicação rápida de onde vem esse número: a tabela inversa dá o valor de
cuja área acumulada à esquerda é
. Em tabelas padrão isso aparece perto de
; um valor mais preciso é
.
4. Agora desfazemos a padronização para achar :
4. Agora desfazemos a padronização para achar
Substituindo:
- Calculo detalhado (passo a passo de multiplicação para você poder reproduzir sem calculadora avançada):
Como o sinal de
é negativo:
Interpretação: o peso máximo entre os
mais leves é aproximadamente
g — ou seja, cerca de
g.
Passo 5
Resumo e motivação rápida: você aprendeu a padronizar com
, usar
para probabilidades à esquerda e
para percentis. Fazendo esses passos com cuidado você resolve qualquer pergunta parecida (probabilidade acima de um valor ou percentil). Vai dar certo na prova — respira fundo e fixa esse procedimento na cabeça: padronizar → usar tabela → (se preciso) inverter.