Seja X \sim \operatorname{Exp}\left(\frac{1}{10}\right).
Seja Y=3 X+2. Calcule o valor esperado e a variância de Y.

Passo 1

O enunciado diz que X segue uma distribuição Exponencial com parâmetro \lambda=\tfrac1{10} e define Y=3X+2. Precisamos encontrar \mathbb{E}[Y] e \operatorname{Var}(Y). O conteúdo envolvido é a esperança e variância de uma variável aleatória exponencial e as fórmulas de transformação linear:
\mathbb{E}[aX+b]=a\,\mathbb{E}[X]+b, \qquad \operatorname{Var}(aX+b)=a^2\,\operatorname{Var}(X).

Passo 2

Para X\sim\mathrm{Exp}(\lambda) vale
\mathbb{E}[X]=\frac1\lambda, \qquad \operatorname{Var}(X)=\frac1{\lambda^2}.
Aqui \lambda=\tfrac1{10}, logo
\mathbb{E}[X]=\frac1{1/10}=10, \qquad \operatorname{Var}(X)=\frac1{(1/10)^2}=100.

Passo 3

Aplicando \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[3X+2]=3\,\mathbb{E}[X]+2, obtemos
\mathbb{E}[Y]=3\cdot10+2=32.

Passo 4

Aplicando \operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(3X+2)=3^2\,\operatorname{Var}(X), obtemos
\operatorname{Var}(Y)=9\cdot100=900.

Resposta

\mathbb{E}[Y]=32
\operatorname{Var}(Y)=900

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