1. Suponha que o mecanismo eletrônico tenha um tempo de vida X (em horas) que possa ser considerado uma v.a. contínua com modelo exponencial (com parâmetro \alpha=1 ). Suponha que o custo de fabricação de um item seja 2 reais e o preço de venda seja 5 reais. O fabricante garante total devolução se X \leqslant 0,9. Qual é o lucro esperado por item?
\text { R. } 0,033 .

Passo 1

O problema envolve uma v.a. contínua X com distribuição exponencial de parâmetro \alpha=1, ou seja
P(X>t)=e^{-t},\quad t\ge0.
O custo de fabricação de cada item é de 2 reais e o preço de venda é de 5 reais. Há garantia de devolução total se o item falhar até 0{,}9 horas. Queremos então calcular o lucro esperado por item, levando em conta que, no caso de devolução, o fabricante assume o custo e devolve os 5 reais.

Passo 2

Modelamos o lucro L de cada item como variável aleatória de duas massas:
  • Se não há devolução ( X>0{,}9), o fabricante recebe 5 e gastou 2, obtendo lucro de 3 reais.
  • Se há devolução ( X\le0{,}9), ele gasta 2 e devolve os 5, ou seja, recebe 0 e tem prejuízo de -2 reais.
    Assim,
L = \begin{cases} 3, & \text{com probabilidade }P(X>0{,}9)=e^{-0,9},\\\\ -2, & \text{com probabilidade }P(X\le0{,}9)=1-e^{-0,9}. \end{cases}

Passo 3

Calculamos as probabilidades envolvidas usando a propriedade da exponencial:
P(X>0{,}9)=e^{-0,9}, \qquad P(X\le0{,}9)=1-e^{-0,9}.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de esperança para variável discreta em dois pontos:
E[L] =3\cdot e^{-0,9}+(-2)\cdot\bigl(1-e^{-0,9}\bigr) =3e^{-0,9}-2+2e^{-0,9} =5e^{-0,9}-2.

Passo 5

Bastam alguns cálculos numéricos:
e^{-0,9}\approx0,4066,
E[L]\approx5\times0,4066-2=2,033-2=0,033.

Resposta

O lucro esperado por item é aproximadamente 0{,}033 reais.

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