Seja X \sim P(\lambda) satisfazendo P(X=0)=P(X=1), qual é a E(X) ?

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição P(\lambda) (ou seja, uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda) e que P(X=0)=P(X=1). A pergunta é: qual é E(X)?\n
Informações dadas:
\;1.\; Temos P(X=0)=P(X=1).\n
\;2.\; A variável X segue a distribuição de Poisson parametrizada por \lambda (valor desconhecido a determinar).\n
O que se pede:
Determinar o valor de E(X).

Passo 2

Lembrando a fórmula da função massa de probabilidade (pmf) para Poisson: para k=0,1,2,\dots,
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Explicando cada parte dessa fórmula:
\;1.\; e^{-\lambda} é um fator comum que faz as probabilidades somarem 1 (é sempre positivo para todo \lambda).\n
\;2.\; \lambda^{k} é a potência do parâmetro \lambda associada ao número de ocorrências k.\n
\;3.\; k! (fatorial de k) normaliza o termo de potência para cada k.\n
Essa fórmula vale para todos os k inteiros não-negativos.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente P(X=0) e P(X=1) usando a pmf e impor a igualdade dada pelo enunciado.\n
Para k=0:
P(X=0)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{0}}{0!}=e^{-\lambda}.
Para k=1:
P(X=1)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{1}}{1!}=e^{-\lambda}\lambda.
Agora aplicamos a condição P(X=0)=P(X=1):
e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\lambda.
Como e^{-\lambda}>0 para todo \lambda, podemos dividir ambos os lados por e^{-\lambda} sem problema, obtendo
1=\lambda.
Logo o parâmetro \lambda é igual a 1.

Passo 4

Agora precisamos relacionar o parâmetro \lambda com E(X). A definição de esperança (valor esperado) para uma variável discreta é
E(X)=\sum_{k=0}^{\infty} k\,P(X=k).
Aplicando isso à Poisson e usando a pmf:
E(X)=\sum_{k=0}^{\infty} k \, e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Note que o termo para k=0 é zero (porque multiplica k), então podemos iniciar a soma em k=1:
E(X)=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty} k\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Simplificamos k/k! usando k!=k\cdot (k-1)!, assim k/k!=1/(k-1)!. Então
E(X)=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{(k-1)!}.
Fazemos a mudança de índice j=k-1. Quando k=1 temos j=0, e quando k\to\infty temos j\to\infty. Substituindo:
E(X)=e^{-\lambda}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^{j+1}}{j!}=e^{-\lambda}\lambda\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^{j}}{j!}.
Mas a série \sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^{j}}{j!} é exatamente a série de potência de e^{\lambda}. Portanto
E(X)=e^{-\lambda}\lambda e^{\lambda}=\lambda.
Conclusão: para uma Poisson, E(X)=\lambda.

Passo 5

Do Passo 3 obtivemos \lambda=1. Do Passo 4 vimos que E(X)=\lambda. Combinando essas duas conclusões, obtemos o valor pedido para E(X), que está na seção final abaixo.

Resposta

1

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