Seja
satisfazendo
, qual é a
?
Passo 1
O enunciado diz que
é uma variável aleatória com distribuição
(ou seja, uma distribuição de Poisson com parâmetro
) e que
. A pergunta é: qual é
?\n
Informações dadas:
Temos
.\n
A variável
segue a distribuição de Poisson parametrizada por
(valor desconhecido a determinar).\n
O que se pede:
Determinar o valor de .
Informações dadas:
O que se pede:
Determinar o valor de
Passo 2
Lembrando a fórmula da função massa de probabilidade (pmf) para Poisson: para
,
Explicando cada parte dessa fórmula:
é um fator comum que faz as probabilidades somarem 1 (é sempre positivo para todo
).\n
é a potência do parâmetro
associada ao número de ocorrências
.\n
(fatorial de
) normaliza o termo de potência para cada
.\n
Essa fórmula vale para todos os inteiros não-negativos.
Essa fórmula vale para todos os
Passo 3
Vamos escrever explicitamente
e
usando a pmf e impor a igualdade dada pelo enunciado.\n
Para :
Para
Para
:
Agora aplicamos a condição
:
Como
para todo
, podemos dividir ambos os lados por
sem problema, obtendo
Logo o parâmetro
é igual a
.
Passo 4
Agora precisamos relacionar o parâmetro
com
. A definição de esperança (valor esperado) para uma variável discreta é
Aplicando isso à Poisson e usando a pmf:
Note que o termo para
é zero (porque multiplica
), então podemos iniciar a soma em
:
Simplificamos
usando
, assim
. Então
Fazemos a mudança de índice
. Quando
temos
, e quando
temos
. Substituindo:
Mas a série
é exatamente a série de potência de
. Portanto
Conclusão: para uma Poisson,
.
Passo 5
Do Passo 3 obtivemos
. Do Passo 4 vimos que
. Combinando essas duas conclusões, obtemos o valor pedido para
, que está na seção final abaixo.