1. (1,5 pontos) Sejam u=(1,-2,1) e v=(-2,1,1). Determine o ângulo formado entre u e v. E depois calcule a projeção de v sobre u.

Passo 1

A questão pede para encontrar o ângulo formado entre os vetores u=(1,-2,1) e v=(-2,1,1) e, em seguida, calcular a projeção de v sobre u. Vamos usar produto escalar para obter costheta e a norma dos vetores para encontrar o ângulo, além da fórmula de projeção de vetores.

Passo 2

Primeiro, calculamos o produto escalar:
ucdotv=1cdot(-2)+(-2)cdot1+1cdot1=-2-2+1=-3

Passo 3

Agora, determinamos as normas de u e v:
|u|=raiz1^2+(-2)^2+1^2=raiz6, |v|=raiz(-2)^2+1^2+1^2=raiz6

Passo 4

Para o ângulo theta entre os vetores, usamos
costheta=ucdotv|u|,|v|=-3raiz6,raiz6=-36=-tfrac12
Logo,
theta=arccosl(-tfrac12r)=120^circ

Passo 5

Por fim, para a projeção de v sobre u, usamos
projuv=ucdotvucdotu,u= rac-36,(1,-2,1)=-tfrac12,(1,-2,1)=l(-tfrac12,1,-tfrac12r)

Resposta

O ângulo entre os vetores é 120^circ e a projeção de v sobre u é l(-tfrac12,1,-tfrac12r).

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