Seja X sim U(a, b). Obtenha MX(t), a função geradora de momentos de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função geradora de momentos (MGF), chamada de $ M_X(t) $, para uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição uniforme no intervalo MX(t) . Basicamente, vamos precisar entender o que é a MGF e como calcular ela para uma distribuição uniforme.

Passo 2

Primeiro, o que é essa tal de função geradora de momentos (MGF)? É uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar os “momentos” de uma variável aleatória, como a média e a variância. A MGF é definida por:
MX(t) = E[e^tX]
Onde $ \mathbb{E} $ é a esperança matemática, e $ t $ é um parâmetro real.

Passo 3

Agora, como é que é a distribuição uniforme $ U(a, b) $? É uma distribuição onde todos os valores entre $ a $ e $ b $ têm a mesma probabilidade. A função densidade de probabilidade (PDF) dessa distribuição é dada por:
U(a, b)
E é zero fora desse intervalo.

Passo 4

Vamos calcular a MGF usando a definição. Substituímos a PDF na fórmula da MGF:
MX(t) = E[e^tX] = integrala^b e^tx cdot fX(x) , dx = integrala^b e^tx cdot 1b - a , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver essa integral. A integral de $ e^{tx} $ em relação a $ x $ é:
e^tx
Aplicando os limites de integração de $ a $ a $ b $:
x

Passo 6

Finalmente, substituímos o resultado da integral na expressão da MGF:
MX(t) = 1b - a cdot e^bt - e^att = e^bt - e^att (b - a)

Resposta

A função geradora de momentos de $ X $ é:
X

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