Seja
. Obtenha
, a função geradora de momentos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função geradora de momentos (MGF), chamada de $ M_X(t) $, para uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição uniforme no intervalo
. Basicamente, vamos precisar entender o que é a MGF e como calcular ela para uma distribuição uniforme.
Passo 2
Primeiro, o que é essa tal de função geradora de momentos (MGF)? É uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar os “momentos” de uma variável aleatória, como a média e a variância. A MGF é definida por:
Onde $ \mathbb{E} $ é a esperança matemática, e $ t $ é um parâmetro real.
Passo 3
Agora, como é que é a distribuição uniforme $ U(a, b) $? É uma distribuição onde todos os valores entre $ a $ e $ b $ têm a mesma probabilidade. A função densidade de probabilidade (PDF) dessa distribuição é dada por:
E é zero fora desse intervalo.
Passo 4
Vamos calcular a MGF usando a definição. Substituímos a PDF na fórmula da MGF:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa integral. A integral de $ e^{tx} $ em relação a $ x $ é:
Aplicando os limites de integração de $ a $ a $ b $:
Passo 6
Finalmente, substituímos o resultado da integral na expressão da MGF:
Resposta
A função geradora de momentos de $ X $ é: