Sejam
e
v…s com densidade conjunta dada por
onde
é um número natural. Calcule a esperança e a variância de
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis
e
com densidade conjunta
onde
. A variável que a gente quer estudar é
.
Conteúdo da matéria: transformações de variáveis contínuas, densidade de soma/diferença e cálculo de esperança e variância usando integrais (função Beta). Vamos precisar:
Conteúdo da matéria: transformações de variáveis contínuas, densidade de soma/diferença e cálculo de esperança e variância usando integrais (função Beta). Vamos precisar:
- achar a densidade de
via integração; - calcular
e por integrais de momento; - montar
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a densidade de
.
Por definição, para entre
e
,
Por definição, para
porque
e
vira
.
Isso dá
Isso dá
Passo 3
Agora
.
Essa integral é a função Beta:
.
Logo
Logo
Passo 4
Para a variância precisamos de
:
E
.
Então
Então
Finalmente