Sejam X e Y v…s com densidade conjunta dada por
fX, Y(x, y)=ll n(n-1)(y-x)^n-2 & 0 <= x <= y <= 1 0 & caso contrário, á
onde n >= 2 é um número natural. Calcule a esperança e a variância de R=Y-X.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis fX,Y(x,y)= n(n-1),(y-x)^n-2,&0<= x<= y<=1, 0,&caso contrário, e com densidade conjunta
á
onde . A variável que a gente quer estudar é .
Conteúdo da matéria: transformações de variáveis contínuas, densidade de soma/diferença e cálculo de esperança e variância usando integrais (função Beta). Vamos precisar:
  1. achar a densidade de via integração;
  2. calcular e por integrais de momento;
  3. montar .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a densidade de fR(r) =integral-infty^+infty fX,Y(x,x+r),dx =integral0^1-rn(n-1),(r)^,n-2,dx, .
Por definição, para fR(r) =n(n-1),r^,n-2integral0^1-rdx =n(n-1),r^,n-2,(1-r), 0<= r<=1 entre e ,
porque e vira .
Isso dá

Passo 3

Agora E[R] =integral0^1 r,fR(r),dr =n(n-1)integral0^1 rcdot r^n-2(1-r),dr =n(n-1)integral0^1 r^n-1(1-r),dr .
E[R] =n(n-1),1n(n+1) =n-1,n+1,
Essa integral é a função Beta:
.
Logo

Passo 4

Para a variância precisamos de E[R^2] =integral0^1 r^2,fR(r),dr =n(n-1)integral0^1 r^2cdot r^n-2(1-r),dr =n(n-1)integral0^1 r^n(1-r),dr =n(n-1),B(n+1,2) :
E[R^2] =n(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)
E
Var(R) = E[R^2] - ( E[R])^2 =n(n-1)(n+1)(n+2)(n+3) -l(n-1n+1r)^2 .
Então
Finalmente

Resposta

boxed E[R]=n-1n+1, Var(R) =n(n-1)(n+1)(n+2)(n+3) -(n-1)^2(n+1)^2

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