Sejam
v.a.s independentes. Use função geradora de momentos para obter a distribuição de
, no seguinte caso:
para
.
para
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos variáveis independentes
, cada uma com distribuição Gama de parâmetros
. A missão é usar a função geradora de momentos (MGF) pra descobrir qual é a distribuição de
Aqui a matéria é MGF e propriedades de independência, mais o fato de a MGF de uma Gama ser conhecida. Vamos precisar saber o que é MGF, como ela separa em produto quando as variáveis são independentes, e reconhecer a forma que surge.
Passo 2
Primeiro, lembra o que é a MGF de uma variável
:
No caso de
Pra calcular a MGF, faz o integral
$$M_{X_i}(t)=\int_0^\infty e^{t x}f_{X_i}(x),dx
=\frac{\lambda{\alpha_i}}{\Gamma(\alpha_i)}\int_0\infty x{\alpha_i-1}e{-(\lambda-t)x},dx.
\int_0^\infty x{\alpha_i-1}e{-\beta x},dx=\frac{\Gamma(\alpha_i)}{\beta^{\alpha_i}},\quad \beta>0.$$
Aqui
, então (para
)
$$M_{X_i}(t)=\frac{\lambda{\alpha_i}}{\Gamma(\alpha_i)}\cdot\frac{\Gamma(\alpha_i)}{(\lambda-t){\alpha_i}}
=\Bigl(\frac{\lambda}{\lambda-t}\Bigr)^{\alpha_i}.$$
Passo 3
Como as
são independentes, a MGF de
é o produto das MGFs:
Passo 4
Agora, basta reconhecer: essa forma
é justamente a MGF de uma distribuição Gama com parâmetro de forma