Sejam X1, ldots, Xn v.a.s independentes. Use função geradora de momentos para obter a distribuição de Sn=X1+cdots+Xn, no seguinte caso:
Xi sim Gama(alphai, lambda)
para i=1, ldots, n.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos variáveis independentes X1,dots,Xn, cada uma com distribuição Gama de parâmetros (alphai,lambda). A missão é usar a função geradora de momentos (MGF) pra descobrir qual é a distribuição de
Sn = X1 + cdots + Xn
Aqui a matéria é MGF e propriedades de independência, mais o fato de a MGF de uma Gama ser conhecida. Vamos precisar saber o que é MGF, como ela separa em produto quando as variáveis são independentes, e reconhecer a forma que surge.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é a MGF de uma variável X:
MX(t) = El[e^tXr]
No caso de Xisim Gamma(alphai,lambda), o pdf é
fXi(x)=lambda^alphaiGamma(alphai),x^alphai-1e^-lambda x,;x>0
Pra calcular a MGF, faz o integral
$$M_{X_i}(t)=\int_0^\infty e^{t x}f_{X_i}(x),dx
=\frac{\lambda{\alpha_i}}{\Gamma(\alpha_i)}\int_0\infty x{\alpha_i-1}e{-(\lambda-t)x},dx. MXi(t)=integral0^infty e^t xfXi(x),dx =lambda^alphaiGamma(alphai)integral0^infty x^alphai-1e^-(lambda-t)x,dxíçã\int_0^\infty x{\alpha_i-1}e{-\beta x},dx=\frac{\Gamma(\alpha_i)}{\beta^{\alpha_i}},\quad \beta>0.$$
Aqui integral0^infty x^alphai-1e^-beta x,dx=Gamma(alphai)beta^alphai, beta>0, então (para beta=lambda-t)
$$M_{X_i}(t)=\frac{\lambda{\alpha_i}}{\Gamma(\alpha_i)}\cdot\frac{\Gamma(\alpha_i)}{(\lambda-t){\alpha_i}}
=\Bigl(\frac{\lambda}{\lambda-t}\Bigr)^{\alpha_i}.$$

Passo 3

Como as Xi são independentes, a MGF de Sn é o produto das MGFs:
MSn(t)=prodi=1^n MXi(t) =prodi=1^nl(lambdalambda-tr)^alphai =l(lambdalambda-tr)^sumi=1^nalphai

Passo 4

Agora, basta reconhecer: essa forma
MSn(t)=l(lambdalambda-tr)^sumi=1^nalphai
é justamente a MGF de uma distribuição Gama com parâmetro de forma sumi=1^nalphai e mesma taxa lambda. Ou seja, bate certinho com Gammal(sumalphai,lambdar).

Resposta

Snsim Gamma!l(sumi=1^nalphai,;lambdar),.

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