Sejam X e Y v.a.s independentes tais que X sim N(mu, sigma^2) e Y sim Gama(alpha, lambda). Obtenha a esperança e a variancia de Z=X Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede a esperança e a variância de , onde
  • é Normal ,
  • é Gama ,
  • e e são independentes.
Conteúdo que vamos usar:
  1. Propriedade de variáveis independentes:
    • .
    • .
  2. Fórmulas básicas de momentos:
    • Para :
      , , .
    • Para :
      , ,
      .

Passo 2

Calcular E[Z] ;=; E[X,Y] ;=; E[X],E[Y] ;=;mu;cdot;alphalambda ;=;mu,alphalambda .
Como e são independentes:

Passo 3

Calcular .
A gente usa . Primeiro E[Z^2] =E[(X,Y)^2] =E[X^2],E[Y^2] =l(sigma^2+mu^2r) ,l(alphalambda^2+alpha^2lambda^2r) :
Var(Z) =E[Z^2] - (E[Z])^2 =l(sigma^2+mu^2r)alpha(1+alpha)lambda^2 ;-;l(mu,alphalambdar)^2
Então
Vamos simplificar:
l(sigma^2+mu^2r)alpha(1+alpha)lambda^2 -mu^2alpha^2lambda^2 =alphalambda^2 l[(sigma^2+mu^2)(1+alpha)-alpha,mu^2r]
=alphalambda^2 l[sigma^2(1+alpha)+mu^2(1+alpha)-alpha,mu^2r] =alphalambda^2 l[sigma^2(1+alpha)+mu^2r]

Resposta


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