Uma variável aleatória X tem Função Geradora de Momentos dada por:
MX(t)=e^(alpha t+beta^2 t^22) para t in R, alpha in R e beta>0
O que pode ser dito sobre a probabilidade P(|X-alpha| >= 2 beta) ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória MX(t)=e^l(alpha t + tfracbeta^2 t^22r), tinR,;alphainR,;beta>0 cuja função geradora de momentos é
Pl(|X-alpha|>= 2betar)
Ou seja, na teoria de probabilidades isso bate direitinho com uma Normal de média e variância .
O que querem de fato é estimar (dar um limite) para
Para resolver isso vamos usar a técnica de cota de Chernoff (que vem de Markov + MGF).

Passo 2

Teoria rápida do Chernoff: se P(Y>= a) ;=; Pl(e^tY>= e^t ar) ;<=;E[e^tY]e^t a ;=;MY(t)e^t a é qualquer variável e , então
Aqui vamos aplicar isso a para a cauda direita e depois simétrico para a cauda esquerda.

Passo 3

Definindo MY(t) =E[e^t(X-alpha)] =e^-alpha t,MX(t) =e^-alpha t,e^l(alpha t + tfracbeta^2 t^22r) =e^beta^2 t^22 , a MGF de P(Y>= 2beta) <= MY(t)e^t,(2beta) = exp!l(tfracbeta^2 t^22-2beta tr) é
Então, para a cauda direita ( ) e :
Agora escolhemos que minimiza o expoente .
Derivando em e zerando:

Passo 4

Substituindo beta^22l(2betar)^2 -2betal(2betar) = beta^22cdot4beta^2-4 =2-4 =-2 no expoente:
P(X-alpha>= 2beta)<= e^-2
Logo
Pela simetria (ou repetindo o raciocínio em para ), a cauda esquerda também vale .

Resposta

Unindo as duas caudas:
Pl(|X-alpha|>=2betar) ;=; P(X-alpha>=2beta)+P(X-alpha<=-2beta) ;<=;e^-2+e^-2 ;=;2e^-2

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