Uma variável aleatória
tem Função Geradora de Momentos dada por:
O que pode ser dito sobre a probabilidade
?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória
cuja função geradora de momentos é
Ou seja, na teoria de probabilidades isso bate direitinho com uma Normal de média
e variância
.
O que querem de fato é estimar (dar um limite) para
O que querem de fato é estimar (dar um limite) para
Para resolver isso vamos usar a técnica de cota de Chernoff (que vem de Markov + MGF).
Passo 2
Teoria rápida do Chernoff: se
é qualquer variável e
, então
Aqui vamos aplicar isso a
para a cauda direita e depois simétrico para a cauda esquerda.
Passo 3
Definindo
, a MGF de
é
Então, para a cauda direita (
) e
:
Agora escolhemos
que minimiza o expoente
.
Derivando em e zerando:
Derivando em
Passo 4
Substituindo
no expoente:
Logo
Pela simetria (ou repetindo o raciocínio em
para
), a cauda esquerda também vale
.
Resposta
Unindo as duas caudas: