Considere \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}\right) um vetor aleatório absolutamente contínuo com função densidade de probabilidade dada por:
f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})=\frac{3}{80}\left(x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}\right) \mathbb{1}_{(0,2)}\left(x_{1}\right) \mathbb{1}_{(0,4)}\left(x_{2}\right) .𝟙𝟙
i) Mostrar que f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) é uma legítima função densidade de probabilidade.
ii) Determinar as marginais de X_{1} e X_{2}.
iii) Calcular \mathbb{P}\left[X_{1}+X_{2} \leq 3\right].

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})=\frac{3}{80}\bigl(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}\bigr)\mathbb{1}_{(0,2)}(x_{1})\mathbb{1}_{(0,4)}(x_{2}).𝟙𝟙
As perguntas são:
i) Verificar que f_{\boldsymbol{X}} é uma função densidade legítima (ou seja, não-negativa e integra 1 sobre todo o espaço).
ii) Determinar as densidades marginais de X_{1} e X_{2}.
iii) Calcular \mathbb{P}\bigl[X_{1}+X_{2}\le 3\bigr].
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • Suporte: x_{1}\in(0,2) e x_{2}\in(0,4). Fora desse retângulo a densidade vale zero.
  • Expressão dentro do suporte: \dfrac{3}{80}\bigl(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}\bigr).

Passo 2

O que é preciso mostrar em (i). Para ser uma função densidade conjunta válida devemos ter:
  1. Não-negatividade: f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\ge 0 para todos \boldsymbol{x}.
  2. Normalização: \displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2} f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}=1.
Vou verificar cada uma dessas propriedades de forma direta e explicada.

Passo 3

Verificando não-negatividade (passo 1 acima).
  • Para x_{1}\in(0,2) e x_{2}\in(0,4) ambos são positivos, então
x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}=x_{1}\bigl(x_{1}+x_{2}\bigr)\ge 0.
  • O coeficiente \tfrac{3}{80}>0. Portanto f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\ge 0 em todo o domínio e vale 0 fora do retângulo. Logo a condição de não-negatividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando normalização (passo 2 acima). Calcula-se a integral dupla sobre o suporte (0,2)\times(0,4):
\iint_{\mathbb{R}^2} f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x} =\int_{x_{1}=0}^{2}\int_{x_{2}=0}^{4}\frac{3}{80}\bigl(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}\bigr)\,dx_{2}\,dx_{1}.
Faço a integral interna em x_{2}:
\int_{0}^{4}\bigl(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}\bigr)\,dx_{2} = x_{1}^{2}\cdot 4 + x_{1}\cdot\frac{4^{2}}{2} =4x_{1}^{2}+8x_{1}.
Agora a integral em x_{1}:
\int_{0}^{2}\bigl(4x_{1}^{2}+8x_{1}\bigr)\,dx_{1} =4\int_{0}^{2}x_{1}^{2}\,dx_{1}+8\int_{0}^{2}x_{1}\,dx_{1} =4\cdot\frac{2^{3}}{3}+8\cdot\frac{2^{2}}{2} =\frac{32}{3}+16=\frac{80}{3}.
Multiplicando pelo coeficiente \tfrac{3}{80}:
\frac{3}{80}\cdot\frac{80}{3}=1.
Portanto a integral total é 1. Conclui-se que f_{\boldsymbol{X}} é uma função densidade válida.

Passo 5

Agora (ii): definição e cálculo da marginal de X_{1}.
  • Definição: a densidade marginal de X_{1} é
f_{X_{1}}(x_{1})=\int_{-\infty}^{\infty} f_{\boldsymbol{X}}(x_{1},x_{2})\,dx_{2}.
Como f_{\boldsymbol{X}} é não nula apenas para x_{2}\in(0,4), a integral reduz-se a esse intervalo. Para 0<x_{1}<2:
f_{X_{1}}(x_{1}) =\int_{0}^{4}\frac{3}{80}\bigl(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}\bigr)\,dx_{2} =\frac{3}{80}\bigl(4x_{1}^{2}+8x_{1}\bigr).
Simplificando os fatores:
\frac{3}{80}\bigl(4x_{1}^{2}+8x_{1}\bigr) =\frac{12}{80}x_{1}^{2}+\frac{24}{80}x_{1} =\frac{3}{20}x_{1}^{2}+\frac{3}{10}x_{1}.
Logo, para x_{1} fora de (0,2) temos f_{X_{1}}(x_{1})=0. É sempre bom checar que esta densidade integra 1:
\int_{0}^{2}\Bigl(\frac{3}{20}x_{1}^{2}+\frac{3}{10}x_{1}\Bigr)\,dx_{1} =\frac{3}{20}\cdot\frac{8}{3}+\frac{3}{10}\cdot\frac{4}{2} =\frac{8}{20}+\frac{6}{10}=0{,}4+0{,}6=1,
confirmando que é uma densidade válida.

Passo 6

Cálculo da marginal de X_{2}.
  • Definição: a densidade marginal de X_{2} é
f_{X_{2}}(x_{2})=\int_{-\infty}^{\infty} f_{\boldsymbol{X}}(x_{1},x_{2})\,dx_{1}.
Como f_{\boldsymbol{X}} é não nula apenas para x_{1}\in(0,2), a integral reduz-se a esse intervalo. Para 0<x_{2}<4:
f_{X_{2}}(x_{2}) =\int_{0}^{2}\frac{3}{80}\bigl(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}\bigr)\,dx_{1} =\frac{3}{80}\Bigl(\int_{0}^{2}x_{1}^{2}\,dx_{1}+x_{2}\int_{0}^{2}x_{1}\,dx_{1}\Bigr).
Calculo das integrais:
\int_{0}^{2}x_{1}^{2}\,dx_{1}=\frac{8}{3},\qquad \int_{0}^{2}x_{1}\,dx_{1}=2.
Substituindo:
f_{X_{2}}(x_{2})=\frac{3}{80}\Bigl(\frac{8}{3}+2x_{2}\Bigr) =\frac{1}{80}\bigl(8+6x_{2}\bigr)=\frac{4+3x_{2}}{40}.
Para x_{2} fora de (0,4) temos f_{X_{2}}(x_{2})=0. Verificação rápida:
\int_{0}^{4}\frac{4+3x_{2}}{40}\,dx_{2} =\frac{1}{40}\bigl(4\cdot 4 +3\cdot\frac{4^{2}}{2}\bigr) =\frac{1}{40}(16+24)=\frac{40}{40}=1,
confirmando validade.

Passo 7

Agora (iii): cálculo de \mathbb{P}\bigl[X_{1}+X_{2}\le 3\bigr].
  • Geometricamente, dentro do retângulo 0<x_{1}<2,\;0<x_{2}<4 o conjunto \{x_{1}+x_{2}\le 3\} é o conjunto de pontos sob a reta x_{2}=3-x_{1}. Para x_{1}\in[0,2] a quantidade 3-x_{1} varia entre 3 e 1, sempre menor que 4. Logo, para cada x_{1}\in[0,2] a condição x_{2}\le 3-x_{1} é o limite efetivo (não usamos 4 porque 3-x_{1}\le 4 aqui).
  • Assim a probabilidade é a integral dupla
\mathbb{P}\bigl[X_{1}+X_{2}\le 3\bigr] =\int_{x_{1}=0}^{2}\int_{x_{2}=0}^{3-x_{1}}\frac{3}{80}\bigl(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}\bigr)\,dx_{2}\,dx_{1}.

Passo 8

Calculo da integral. Primeiro a integral interna em x_{2}:
\int_{0}^{3-x_{1}}\bigl(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}\bigr)\,dx_{2} = x_{1}^{2}(3-x_{1})+x_{1}\cdot\frac{(3-x_{1})^{2}}{2}.
Faço a soma e simplifico passo a passo:
x_{1}^{2}(3-x_{1})=\;3x_{1}^{2}-x_{1}^{3},
\frac{x_{1}}{2}(3-x_{1})^{2}=\frac{x_{1}}{2}\bigl(9-6x_{1}+x_{1}^{2}\bigr) =\frac{9}{2}x_{1}-3x_{1}^{2}+\frac{1}{2}x_{1}^{3}.
Somando os dois termos:
\bigl(3x_{1}^{2}-x_{1}^{3}\bigr)+\bigl(\tfrac{9}{2}x_{1}-3x_{1}^{2}+\tfrac{1}{2}x_{1}^{3}\bigr) =\frac{9}{2}x_{1}-\frac{1}{2}x_{1}^{3}.
Surpresa agradável: os termos em x_{1}^{2} cancelam, ficando um polinômio simples.

Passo 9

Continuando, a probabilidade vira
\mathbb{P}\bigl[X_{1}+X_{2}\le 3\bigr] =\frac{3}{80}\int_{0}^{2}\Bigl(\frac{9}{2}x_{1}-\frac{1}{2}x_{1}^{3}\Bigr)\,dx_{1}.
Calculo da primitiva:
\int_{0}^{2}\Bigl(\frac{9}{2}x_{1}-\frac{1}{2}x_{1}^{3}\Bigr)\,dx_{1} =\left[\frac{9}{4}x_{1}^{2}-\frac{1}{8}x_{1}^{4}\right]_{0}^{2} =\frac{9}{4}\cdot 4-\frac{1}{8}\cdot 16 =9-2=7.
Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{80}:
\mathbb{P}\bigl[X_{1}+X_{2}\le 3\bigr]=\frac{3}{80}\cdot 7=\frac{21}{80}.
Em decimal isso é 0{,}2625, que é um valor razoável entre 0 e 1.

Resposta

i) Sim. [\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}),d\boldsymbol{x}=1).
ii) (\displaystyle f_{X_{1}}(x_{1})= \begin{cases}\dfrac{3}{20}x_{1}^{2}+\dfrac{3}{10}x_{1},&0<x_{1}<2,\\[4pt]0,&\text{caso contrário,}\end{cases}á]
\displaystyle f_{X_{2}}(x_{2})=\begin{cases}\dfrac{4+3x_{2}}{40},&0<x_{2}<4,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}á
iii) \displaystyle \mathbb{P}\bigl[X_{1}+X_{2}\le 3\bigr]=\frac{21}{80}.]

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