i) Mostrar que f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) é uma legítima função densidade de probabilidade.
ii) Determinar as marginais de X_{1} e X_{2}.
iii) Calcular \mathbb{P}\left[X_{1}+X_{2} \leq 3\right].
As perguntas são:
i) Verificar que f_{\boldsymbol{X}} é uma função densidade legítima (ou seja, não-negativa e integra 1 sobre todo o espaço).
ii) Determinar as densidades marginais de X_{1} e X_{2}.
iii) Calcular \mathbb{P}\bigl[X_{1}+X_{2}\le 3\bigr].
Dados importantes extraídos do enunciado:
Suporte: x_{1}\in(0,2) e x_{2}\in(0,4). Fora desse retângulo a densidade vale zero.
Expressão dentro do suporte: \dfrac{3}{80}\bigl(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}\bigr).
Passo 2
O que é preciso mostrar em (i). Para ser uma função densidade conjunta válida devemos ter:
Não-negatividade: f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\ge 0 para todos \boldsymbol{x}.
O coeficiente \tfrac{3}{80}>0. Portanto f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\ge 0 em todo o domínio e vale 0 fora do retângulo. Logo a condição de não-negatividade está satisfeita.
Passo 4
Verificando normalização (passo 2 acima). Calcula-se a integral dupla sobre o suporte (0,2)\times(0,4):
Agora (iii): cálculo de \mathbb{P}\bigl[X_{1}+X_{2}\le 3\bigr].
Geometricamente, dentro do retângulo 0<x_{1}<2,\;0<x_{2}<4 o conjunto \{x_{1}+x_{2}\le 3\} é o conjunto de pontos sob a reta x_{2}=3-x_{1}. Para x_{1}\in[0,2] a quantidade 3-x_{1} varia entre 3 e 1, sempre menor que 4. Logo, para cada x_{1}\in[0,2] a condição x_{2}\le 3-x_{1} é o limite efetivo (não usamos 4 porque 3-x_{1}\le 4 aqui).