Seja X subset R. Uma função f: X R chama-se limitada quando sua imagem
f(X)=f(x) ; x in X
é um conjunto limitado. Neste caso define-se o sup f=sup f(X) e inf f=inf f(X). Mostre que (f+g)(X) subset f(X)+g(X).

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo envolvido: queremos mostrar que a imagem da soma de duas funções é contida na soma das imagens. O conteúdo aqui envolve a definição de imagem de função f(X)=f(x):xin X e a definição de soma de dois subconjuntos de R, dada por A+B=a+b: ain A,;bin B.

Passo 2

Definição de (f+g)(X) e de f(X)+g(X): por definição temos
$$
(f+g)(X)={(f+g)(x):x\in X}\n (f+g)(X)=(f+g)(x):xin Xn
f(X)+g(X)={u+v:u\in f(X),;v\in g(X)}.
$$

Passo 3

Prova da inclusão: seja um elemento arbitrário yin(f+g)(X). Então existe xin X tal que
y=(f+g)(x)=f(x)+g(x)
Como f(x)in f(X) e g(x)in g(X), concluímos que y=f(x)+g(x)in f(X)+g(X). Logo todo elemento de (f+g)(X) pertence a f(X)+g(X), ou seja,
(f+g)(X)subset f(X)+g(X)

Resposta

(f+g)(X)\subset f(X)+g(X)

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