Seja
. Uma função
chama-se limitada quando sua imagem
é um conjunto limitado. Neste caso define-se o
e
. Mostre que
.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo envolvido: queremos mostrar que a imagem da soma de duas funções é contida na soma das imagens. O conteúdo aqui envolve a definição de imagem de função
e a definição de soma de dois subconjuntos de
, dada por
.
Passo 2
Definição de
e de
: por definição temos
$$
(f+g)(X)={(f+g)(x):x\in X}\n
f(X)+g(X)={u+v:u\in f(X),;v\in g(X)}.
$$
Passo 3
Prova da inclusão: seja um elemento arbitrário
. Então existe
tal que
Como
e
, concluímos que
. Logo todo elemento de
pertence a
, ou seja,
Resposta
(f+g)(X)\subset f(X)+g(X)