Determine, utilizando transformada de Laplace, a função , que satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
tal que a função u:[0,+infty) R, é dada por:
u(t-a)=ll 1, & t in[a,+infty) 0 & t in[0, a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e uma função do tipo “degrau” que começa a agir a partir de um certo tempo $ a $. A gente vai usar a Transformada de Laplace para resolver isso. Ou seja, vamos transformar a equação no domínio da frequência, resolver lá e depois voltar para o tempo para achar a função $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, a equação que queremos resolver é:
y'' + y = u(t - a)
com as condições iniciais:
y(0) = 19 e y'(0) = 1
Vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos dessa equação. Lembrando que a transformada de Laplace de $ y(t) $ é $ Y(s) $, onde $ s $ é a variável da transformada.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Ly'' + Ly = Lu(t - a)
Sabemos que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly = Y(s)
Lu(t - a) = e^-a ss
Substituindo esses valores na equação, temos:
s^2 Y(s) - s ( 19 ) - 1 + Y(s) = e^-a ss
Passo 4
Agora, vamos juntar os termos envolvendo $ Y(s) $:
Y(s)
Isolando $ Y(s) $:
(s^2 + 1) Y(s) = e^-a ss + s9 + 1
Passo 5
Vamos simplificar a fração:
Y(s) = e^-a ss(s^2 + 1) + s9(s^2 + 1) + 1s^2 + 1
Agora, vamos separar em três termos para facilitar a inversão da transformada:
Y(s) = e^-a ss(s^2 + 1) + s9(s^2 + 1) + 1s^2 + 1
Passo 6
Vamos transformar cada termo de volta para o domínio do tempo.
Primeiro termo: $ \frac{e^{-a s}}{s(s^2 + 1)} $
Isso corresponde a uma função que começa a agir em $ t = a $. A transformada inversa nos dá: