Determine, utilizando transformada de Laplace, a função y, que satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
l y^prime prime+y=u(t-a) y(0)=19 y^prime(0)=1
tal que a função u:[0,+infty) R, é dada por:
u(t-a)=ll 1, & t in[a,+infty) 0 & t in[0, a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e uma função do tipo “degrau” que começa a agir a partir de um certo tempo $ a $. A gente vai usar a Transformada de Laplace para resolver isso. Ou seja, vamos transformar a equação no domínio da frequência, resolver lá e depois voltar para o tempo para achar a função $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, a equação que queremos resolver é:
y'' + y = u(t - a)
com as condições iniciais:
y(0) = 19 e y'(0) = 1
Vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos dessa equação. Lembrando que a transformada de Laplace de $ y(t) $ é $ Y(s) $, onde $ s $ é a variável da transformada.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Ly'' + Ly = Lu(t - a)
Sabemos que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly = Y(s)
Lu(t - a) = e^-a ss
Substituindo esses valores na equação, temos:
s^2 Y(s) - s ( 19 ) - 1 + Y(s) = e^-a ss

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos envolvendo $ Y(s) $:
Y(s)
Isolando $ Y(s) $:
(s^2 + 1) Y(s) = e^-a ss + s9 + 1

Passo 5

Vamos simplificar a fração:
Y(s) = e^-a ss(s^2 + 1) + s9(s^2 + 1) + 1s^2 + 1
Agora, vamos separar em três termos para facilitar a inversão da transformada:
Y(s) = e^-a ss(s^2 + 1) + s9(s^2 + 1) + 1s^2 + 1

Passo 6

Vamos transformar cada termo de volta para o domínio do tempo.
  1. Primeiro termo: $ \frac{e^{-a s}}{s(s^2 + 1)} $
    Isso corresponde a uma função que começa a agir em $ t = a $. A transformada inversa nos dá:
    e^-a ss(s^2 + 1)
  2. Segundo termo: $ \frac{s}{9(s^2 + 1)} $
    A transformada inversa é:
    t = a
  3. Terceiro termo: $ \frac{1}{s^2 + 1} $
    A transformada inversa é:
    u(t - a) ( 1 - cos(t - a)1 )

Passo 7

Juntando tudo, temos:
y(t) = 19 cos(t) + sin(t) + u(t - a) (1 - cos(t - a))

Resposta

A solução da equação é
y(t) = 19 cos(t) + sin(t) + u(t - a) (1 - cos(t - a))

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