Determine o intervalo de convergência
sum n^3n+1(x-2)^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=2,
sumn=1^infty n^3n+1,(x-2)^n
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o critério da razão para determinar o raio de convergência, depois testar as extremidades do intervalo.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
an = n^3n+1,(x-2)^n
Aplicando o critério da razão, calculamos
L =limntoinfty |an+1an| =limntoinfty |(n+1)^3n+2,(x-2)^,n+1n^3n+1,(x-2)^n| =|x-2|; limntoinfty (n+1)^3n+2;n+1n^3
Para a parte racional temos
(n+1)^3n+2;n+1n^3 =(n+1)^4n^3(n+2) ;xrightarrow[ntoinfty];1,
portanto
L = |x-2|

Passo 3

Pelo critério da razão, a série converge se L<1, isto é
|x-2|<1
Logo o raio de convergência é R=1 e a condição interna é
1 < x < 3

Passo 4

Agora testamos as extremidades:
Em x=3: o termo geral vira
n^3n+1,1^nsim n^3n;=;n^2,
que não tende a zero, logo a série diverge.
Em x=1: o termo geral é
n^3n+1(-1)^nsim n^2(-1)^n,
cujo módulo também não tende a zero, então a série diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
(1,3)

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