Determine o intervalo de convergência sum n^3n+1(x-2)^n Passo 1O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=2, sumn=1^infty n^3n+1,(x-2)^n O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o critério da razão para determinar o raio de convergência, depois testar as extremidades do intervalo. Passo 2Denotemos o termo geral por an = n^3n+1,(x-2)^n Aplicando o critério da razão, calculamos L =limntoinfty |an+1an| =limntoinfty |(n+1)^3n+2,(x-2)^,n+1n^3n+1,(x-2)^n| =|x-2|; limntoinfty (n+1)^3n+2;n+1n^3 Para a parte racional temos (n+1)^3n+2;n+1n^3 =(n+1)^4n^3(n+2) ;xrightarrow[ntoinfty];1, portanto L = |x-2| Passo 3Pelo critério da razão, a série converge se L<1, isto é |x-2|<1 Logo o raio de convergência é R=1 e a condição interna é 1 < x < 3 Passo 4Agora testamos as extremidades: Em x=3: o termo geral vira n^3n+1,1^nsim n^3n;=;n^2, que não tende a zero, logo a série diverge. Em x=1: o termo geral é n^3n+1(-1)^nsim n^2(-1)^n, cujo módulo também não tende a zero, então a série diverge. RespostaO intervalo de convergência é (1,3) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSeja X subseteq R um conjunto não-vazio. Mostre que se u=sup (X), então para todo n in N, o número u-1 / n não é uma cota superior para X, mas o número u+1 / n é uma cota superior para X. Mostre que se X subseteq R contém uma de suas cotas superiores, então esta cota superior é o supremo de X. Verificar a regra da cadeia d hd t=partial fpartial x cdot d xd t+partial fpartial y cdot d yd t para as funções: b) f(x, y)=sen(2 x+5 y) x=cos t y=sen t. Determine o intervalo de convergência sum ln n2^n(x-raiz2)^n