Seja X: U subset R^2 R^3 uma superficie parametrizada regular. Se h: barU subset R^2 U é uma aplicação diferenciável, cujo determinante da matriz jacobiana não se anula, e h(barU)=U, então Y=X circ h é uma superficie parametrizada regular que tem o mesmo traço que X.

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma superfície parametrizada regular X:UsubsetR^2toR^3 e uma aplicação diferenciável h:bar UsubsetR^2to U com det(Dh)neq0 e h(bar U)=U. Definimos Y=Xcirc h. O conteúdo que vamos usar é a definição de parametrização regular (produto vetorial das derivadas parciais não se anula) e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Escrevendo h(t,s)=(u(t,s),v(t,s)), aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de Y:
Yt = Xu(h(t,s)),ut(t,s) + Xv(h(t,s)),vt(t,s),
Ys = Xu(h(t,s)),us(t,s) + Xv(h(t,s)),vs(t,s)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial:
Yt times Ys = l(Xutimes Xvr)(h(t,s));detl(Dh(t,s)r)
Como Xutimes Xvneq0 em U e det(Dh)neq0 em bar U, concluímos que Yttimes Ysneq0. Portanto Y é uma parametrização regular.

Passo 4

Para o traço (imagem) basta notar que
Im(Y)=Xl(h(bar U)r)=X(U)=Im(X)
Ou seja, Y e X parametrize m a mesma superfície.

Passo 5

Assim mostramos que Y=Xcirc h é regular e tem o mesmo traço que X.

Resposta

Y é uma parametrização regular e sua imagem coincide com a imagem de X.

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