Seja
uma superficie parametrizada regular. Se
é uma aplicação diferenciável, cujo determinante da matriz jacobiana não se anula, e
, então
é uma superficie parametrizada regular que tem o mesmo traço que
.
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma superfície parametrizada regular
e uma aplicação diferenciável
com
e
. Definimos
. O conteúdo que vamos usar é a definição de parametrização regular (produto vetorial das derivadas parciais não se anula) e a regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Escrevendo
, aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de
:
Passo 3
Agora calculamos o produto vetorial:
Como
em
e
em
, concluímos que
. Portanto
é uma parametrização regular.
Passo 4
Para o traço (imagem) basta notar que
Ou seja,
e
parametrize m a mesma superfície.
Passo 5
Assim mostramos que
é regular e tem o mesmo traço que
.
Resposta
Y é uma parametrização regular e sua imagem coincide com a imagem de X.