Considere uma v.a.c. X\) associada à seguinte função: \[f(x)= \begin{cases}k x^{2}, & \text { se } 2 \leq x<5 \\\ k(8-x), & \text { se } 5 \leq x \leq 8 \\\\ 0, & \text { para outros valores de } \quad \text { x. }\end{cases}
Determinar:
a) O valor da constante k para que f(\mathrm{x})\] seja uma f.d.p. b) Desenhe o gráfico de \(f(\mathrm{x}).
c) P( 4<X<\frac{25}{2} )

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de probabilidade (v.a.c.) X\) definida por \[f(x)= \begin{cases}k x^{2}, & \text{se } 2 \le x<5,\\[4pt] k(8-x), & \text{se } 5 \le x \le 8,\\[4pt] 0, & \text{para outros valores de } x.\end{cases}
As perguntas são:
a) Determinar o valor da constante k\] para que \(f seja uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.).
b) Desenhar (descrever) o gráfico de f(x).
c) Calcular P\!\left(4<X<\dfrac{25}{2}\right).
Informações relevantes dadas: a função é não nula apenas no intervalo [2,8] (ou seja, o suporte de X é [2,8]), e a função é dada por duas expressões diferentes em [2,5) e [5,8].]

Passo 2

Conceito importante (rápido e prático): para que uma função f seja uma f.d.p. ela deve satisfazer duas condições, mas aqui a que nos interessa é a normalização:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [2,8], essa integral reduz-se a
\int_{2}^{8} f(x)\,dx = 1.
Devido à definição por partes, quebramos em duas integrais:
\int_{2}^{5} k x^{2}\,dx \;+\; \int_{5}^{8} k(8-x)\,dx \;=\; 1.
Antes de integrar, lembro as antiderivadas que vamos usar:
  • Antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. (Porque ao derivar \dfrac{x^{3}}{3} obtém-se x^{2}.)
  • Antiderivada de 8-x é 8x-\dfrac{x^{2}}{2}. (Porque ao derivar 8x-\dfrac{x^{2}}{2} obtém-se 8-x.)
Vou calcular cada integral separadamente, mostrando contas passo a passo.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{2}^{5} k x^{2}\,dx:
\int_{2}^{5} k x^{2}\,dx = k\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{2}^{5} = k\left(\frac{5^{3}}{3}-\frac{2^{3}}{3}\right) = k\left(\frac{125-8}{3}\right) = k\left(\frac{117}{3}\right) = k\cdot 39.
Calcular \displaystyle \int_{5}^{8} k(8-x)\,dx:
\int_{5}^{8} k(8-x)\,dx = k\left[8x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{5}^{8} = k\Big(\big(8\cdot 8-\tfrac{8^{2}}{2}\big)-\big(8\cdot 5-\tfrac{5^{2}}{2}\big)\Big).
Agora calculo cada parte:
8\cdot 8-\frac{8^{2}}{2}=64-\frac{64}{2}=64-32=32,
8\cdot 5-\frac{5^{2}}{2}=40-\frac{25}{2}=40-12{,}5=27{,}5=\frac{55}{2}.
Subtraindo:
32-\frac{55}{2}=\frac{64-55}{2}=\frac{9}{2}.
Logo
\int_{5}^{8} k(8-x)\,dx = k\cdot \frac{9}{2}.
Somando as duas integrais e impondo a normalização:
k\cdot 39 \;+\; k\cdot \frac{9}{2} \;=\; 1.
Coloco sobre um denominador comum:
k\left(\frac{78}{2}+\frac{9}{2}\right)=k\cdot\frac{87}{2}=1.
Logo
k=\frac{2}{87}.
Como referência numérica, \displaystyle k\approx 0,02299.

Passo 4

Desenho / descrição do gráfico (passo a passo para você desenhar na prova):
  • O suporte é [2,8]. Para x<2 e x>8 a densidade é zero.
  • Em 2\le x<5: f(x)=k x^{2} é uma parábola crescente (ramo da função x^{2} multiplicada por k>0). Com k=\dfrac{2}{87} temos alguns pontos importantes: f(2)=k\cdot 2^{2}=k\cdot 4=\frac{8}{87}\approx 0,09195,
f(4)=k\cdot 4^{2}=k\cdot 16=\frac{32}{87}\approx 0,3678,
o valor à esquerda de 5 (limite por x\to5^{-}) é
f(5^{-})=k\cdot 5^{2}=k\cdot 25=\frac{50}{87}\approx 0,5747.
No gráfico, desenhe o ramo da parábola que vai de (2,\frac{8}{87}) subindo até quase (5,\frac{50}{87}). Em (5,\frac{50}{87}) coloque um círculo aberto (porque a definição para x=5 pertence à segunda peça; ver abaixo).
  • Em 5\le x\le 8: f(x)=k(8-x) é uma reta decrescente (forma linear). Pontos chave: f(5)=k(8-5)=3k=\frac{6}{87}\approx 0,06897,
f(8)=k(8-8)=0.
Essa reta liga (5,\frac{6}{87}) a (8,0). Como a função está definida em 5 pela segunda expressão, no ponto (5,\frac{6}{87}) coloque um ponto preenchido. Assim há um salto (descontinuidade) em x=5: o limite pela esquerda é \dfrac{50}{87} (aberto) e o valor no ponto é \dfrac{6}{87} (preenchido).
  • Resumo visual para desenhar: eixo x de 0 a 9, eixo y de 0 a cerca de 0,6. Desenhar a parábola y=\dfrac{2}{87}x^{2} no trecho [2,5) e a reta y=\dfrac{2}{87}(8-x) no trecho [5,8], com as marcações e o salto em x=5.

Passo 5

Cálculo de P\!\left(4<X<\dfrac{25}{2}\right).
Observação importante sobre suporte: \dfrac{25}{2}=12{,}5 é maior que 8, e para x>8 a densidade é zero. Assim
P\!\left(4<X<\frac{25}{2}\right)=P(4<X<8)=\int_{4}^{8} f(x)\,dx.
Essa integral deve ser quebrada conforme as duas peças:
\int_{4}^{8} f(x)\,dx = \int_{4}^{5} k x^{2}\,dx \;+\; \int_{5}^{8} k(8-x)\,dx.
Já calculámos a segunda integral inteira \displaystyle \int_{5}^{8} k(8-x)\,dx = k\cdot \frac{9}{2}. Agora calculamos a primeira integral \displaystyle \int_{4}^{5} k x^{2}\,dx:
\int_{4}^{5} k x^{2}\,dx = k\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{4}^{5} = k\left(\frac{5^{3}-4^{3}}{3}\right) = k\left(\frac{125-64}{3}\right) = k\cdot\frac{61}{3}.
Somando:
P(4<X<8) = k\left(\frac{61}{3}+\frac{9}{2}\right).
Colocando em denominador comum 6:
\frac{61}{3}+\frac{9}{2}=\frac{122}{6}+\frac{27}{6}=\frac{149}{6}.
Portanto
P\!\left(4<X<\frac{25}{2}\right)=k\cdot\frac{149}{6}.
Substituindo k=\dfrac{2}{87}:
P\!\left(4<X<\frac{25}{2}\right)=\frac{2}{87}\cdot\frac{149}{6}=\frac{298}{522}.
Simplificando por 2:
P\!\left(4<X<\frac{25}{2}\right)=\frac{149}{261}.
Valor numérico aproximado:
\frac{149}{261}\approx 0,5709.

Resposta

a) k=\dfrac{2}{87}
b) Gráfico: em 2\le x<5 uma parábola crescente f(x)=\dfrac{2}{87}x^{2} (vai de (2,\tfrac{8}{87}) até perto de (5,\tfrac{50}{87}) com círculo aberto em (5,\tfrac{50}{87})); em 5\le x\le8 uma reta decrescente f(x)=\dfrac{2}{87}(8-x) ligando (5,\tfrac{6}{87}) (ponto preenchido) a (8,0); fora de [2,8] vale 0.
c) P\!\left(4<X<\dfrac{25}{2}\right)=\dfrac{149}{261}\approx 0,5709

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