Considere uma v.a.c.
Determinar:
a) O valor da constante k para que
.
c) P(
)
a) O valor da constante k para que .
c) P(
Passo 1
O enunciado fornece a densidade de probabilidade (v.a.c.)
As perguntas são:
a) Determinar o valor da constante seja uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.).
a) Determinar o valor da constante seja uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.).
b) Desenhar (descrever) o gráfico de
.
c) Calcular .
c) Calcular
Informações relevantes dadas: a função é não nula apenas no intervalo
(ou seja, o suporte de
é
), e a função é dada por duas expressões diferentes em
e
.]
Passo 2
Conceito importante (rápido e prático): para que uma função
seja uma f.d.p. ela deve satisfazer duas condições, mas aqui a que nos interessa é a normalização:
Como
fora de
, essa integral reduz-se a
Devido à definição por partes, quebramos em duas integrais:
Antes de integrar, lembro as antiderivadas que vamos usar:
- Antiderivada de
é . (Porque ao derivar obtém-se .) - Antiderivada de
é . (Porque ao derivar obtém-se .)
Vou calcular cada integral separadamente, mostrando contas passo a passo.
Passo 3
Calcular
:
Calcular
:
Agora calculo cada parte:
Subtraindo:
Logo
Somando as duas integrais e impondo a normalização:
Coloco sobre um denominador comum:
Logo
Como referência numérica,
.
Passo 4
Desenho / descrição do gráfico (passo a passo para você desenhar na prova):
- O suporte é
. Para e a densidade é zero. - Em
: é uma parábola crescente (ramo da função multiplicada por ). Com temos alguns pontos importantes:
o valor à esquerda de
(limite por
) é
No gráfico, desenhe o ramo da parábola que vai de
subindo até quase
. Em
coloque um círculo aberto (porque a definição para
pertence à segunda peça; ver abaixo).
- Em
: é uma reta decrescente (forma linear). Pontos chave:
Essa reta liga
a
. Como a função está definida em
pela segunda expressão, no ponto
coloque um ponto preenchido. Assim há um salto (descontinuidade) em
: o limite pela esquerda é
(aberto) e o valor no ponto é
(preenchido).
- Resumo visual para desenhar: eixo
de 0 a 9, eixo de 0 a cerca de . Desenhar a parábola no trecho e a reta no trecho , com as marcações e o salto em .
Passo 5
Cálculo de
.
Observação importante sobre suporte:
é maior que
, e para
a densidade é zero. Assim
Essa integral deve ser quebrada conforme as duas peças:
Já calculámos a segunda integral inteira
. Agora calculamos a primeira integral
:
Somando:
Colocando em denominador comum
:
Portanto
Substituindo
:
Simplificando por
:
Valor numérico aproximado:
Resposta
a)
b) Gráfico: em
uma parábola crescente
(vai de
até perto de
com círculo aberto em
); em
uma reta decrescente
ligando
(ponto preenchido) a
; fora de
vale
.
c)