Seja X a v. a. contínua cuja densidade de probabilidade é
f(x)=2 x, 0 <= x <= 1
Calcule a distribuição acumulada F(x), o valor esperado E(X), a variância Var(X) e o desvio padrão sigma(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com densidade de probabilidade dada por $ f(x) = 2x $ no intervalo de $ 0 $ a $ 1 $. Nosso objetivo é calcular quatro coisas: a distribuição acumulada $ F(x) $, o valor esperado $ E(X) $, a variância $ \operatorname{Var}(X) $ e o desvio padrão $ \sigma(X) $. Para isso, vamos precisar usar integração e algumas propriedades básicas de variáveis aleatórias contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distribuição acumulada $ F(x) $. A distribuição acumulada em um ponto $ x $ é basicamente a probabilidade de que a variável $ X $ seja menor ou igual a $ x $. Matemáticamente, isso é dado por:
F(x)
Como $ f(x) = 2x $, a gente integra essa função de $ 0 $ até $ x $:
x
Então, a distribuição acumulada é:
X

Passo 3

Agora vamos calcular o valor esperado $ E(X) $, que é a média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir, ponderada pela probabilidade. A fórmula é:
E(X)
Integrando:
X
Então, o valor esperado é $ E(X) = \frac{2}{3} $.

Passo 4

Vamos calcular a variância $ \operatorname{Var}(X) $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em torno do valor esperado. A fórmula é:
Var(X)
Primeiro, vamos calcular $ E(X^2) $:
X
Integrando:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Agora, usamos o valor esperado que já calculamos:
E(X^2)
Então, a variância é $ \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{18} $.

Passo 5

Por fim, vamos determinar o desvio padrão $ \sigma(X) $, que é a raiz quadrada da variância. Isso nos dá uma medida de dispersão na mesma unidade da variável original.
sigma(X)
Então, o desvio padrão é aproximadamente $ \sigma(X) \approx 0,2357 $.

Resposta

  • Distribuição acumulada $ F(x) $:
    F(x)
  • Valor esperado $ E(X) $: $ \dfrac{2}{3} $
  • Variância $ \operatorname{Var}(X) $: $ \dfrac{1}{18} $
  • Desvio padrão $ \sigma(X) $: Aproximadamente $ 0,2357 $

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