Seja X a v. a. contínua cuja densidade de probabilidade é
Calcule a distribuição acumulada
, o valor esperado
, a variância
e o desvio padrão
.
Calcule a distribuição acumulada
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com densidade de probabilidade dada por $ f(x) = 2x $ no intervalo de $ 0 $ a $ 1 $. Nosso objetivo é calcular quatro coisas: a distribuição acumulada $ F(x) $, o valor esperado $ E(X) $, a variância $ \operatorname{Var}(X) $ e o desvio padrão $ \sigma(X) $. Para isso, vamos precisar usar integração e algumas propriedades básicas de variáveis aleatórias contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distribuição acumulada $ F(x) $. A distribuição acumulada em um ponto $ x $ é basicamente a probabilidade de que a variável $ X $ seja menor ou igual a $ x $. Matemáticamente, isso é dado por:
Como $ f(x) = 2x $, a gente integra essa função de $ 0 $ até $ x $:
Então, a distribuição acumulada é:
Passo 3
Agora vamos calcular o valor esperado $ E(X) $, que é a média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir, ponderada pela probabilidade. A fórmula é:
Integrando:
Então, o valor esperado é $ E(X) = \frac{2}{3} $.
Passo 4
Vamos calcular a variância $ \operatorname{Var}(X) $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em torno do valor esperado. A fórmula é:
Primeiro, vamos calcular $ E(X^2) $:
Integrando:
Agora, usamos o valor esperado que já calculamos:
Então, a variância é $ \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{18} $.
Passo 5
Por fim, vamos determinar o desvio padrão $ \sigma(X) $, que é a raiz quadrada da variância. Isso nos dá uma medida de dispersão na mesma unidade da variável original.
Então, o desvio padrão é aproximadamente $ \sigma(X) \approx 0,2357 $.
Resposta
-
Distribuição acumulada $ F(x) $:
F(x) -
Valor esperado $ E(X) $: $ \dfrac{2}{3} $
-
Variância $ \operatorname{Var}(X) $: $ \dfrac{1}{18} $
-
Desvio padrão $ \sigma(X) $: Aproximadamente $ 0,2357 $