Assuma que o tempo de duração X de uma consulta médica tenha distribuição exponencial com média de 10 minutos. Calcule a probabilidade dos seguintes eventos:
Uma consulta demora 20 minutos no máximo;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre distribuição exponencial, que é uma parte de probabilidade e estatística. Aqui, a duração de uma consulta médica, representada por $ X $, segue essa distribuição com uma média de 10 minutos. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que uma consulta dure no máximo 20 minutos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. A fórmula da função de distribuição acumulada (FDA) da distribuição exponencial é:
P(X <= x) = 1 - e^-lambda x
Onde:
  • $ \lambda $ é a taxa de ocorrência,
  • $ x $ é o tempo que queremos analisar,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (~2.71828).

Passo 3

Sabemos que a média ($ \mu $) da distribuição exponencial é dada por:
mu
Dado que a média é 10 minutos, podemos encontrar $ \lambda $:
mu = 1lambda

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que uma consulta dure no máximo 20 minutos, ou seja, $ P(X \leq 20) $.
Usando a FDA da distribuição exponencial:
P(X <= 20)
Substituindo $ \lambda = 0,1 $:
P(X <= 20) = 1 - e^-lambda times 20

Passo 5

Vamos calcular $ e^{-2} $:
e^-2
Então:
e^-2 approx 0,1353

Resposta

A probabilidade de uma consulta durar no máximo 20 minutos é de aproximadamente 86,47%.

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