Assuma que o tempo de duração
de uma consulta médica tenha distribuição exponencial com média de 10 minutos. Calcule a probabilidade dos seguintes eventos:
Uma consulta demora 20 minutos no máximo;
Uma consulta demora 20 minutos no máximo;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre distribuição exponencial, que é uma parte de probabilidade e estatística. Aqui, a duração de uma consulta médica, representada por $ X $, segue essa distribuição com uma média de 10 minutos. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que uma consulta dure no máximo 20 minutos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. A fórmula da função de distribuição acumulada (FDA) da distribuição exponencial é:
Onde:
- $ \lambda $ é a taxa de ocorrência,
- $ x $ é o tempo que queremos analisar,
- $ e $ é a base do logaritmo natural (~2.71828).
Passo 3
Sabemos que a média ($ \mu $) da distribuição exponencial é dada por:
Dado que a média é 10 minutos, podemos encontrar $ \lambda $:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que uma consulta dure no máximo 20 minutos, ou seja, $ P(X \leq 20) $.
Usando a FDA da distribuição exponencial:
Substituindo $ \lambda = 0,1 $:
Passo 5
Vamos calcular $ e^{-2} $:
Então:
Resposta
A probabilidade de uma consulta durar no máximo 20 minutos é de aproximadamente 86,47%.