Seja X a v. a. contínua cuja densidade de probabilidade é
Calcule
e
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular duas probabilidades envolvendo uma variável aleatória contínua $ X $ com densidade de probabilidade dada por $ f(x) = 2x $ no intervalo de 0 a 1. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade contínua e integração de funções de densidade de probabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função de densidade de probabilidade $ f(x) = 2x $. Essa função nos dá a “densidade” de probabilidade em cada ponto do intervalo [0, 1]. Para encontrar a probabilidade de $ X $ estar em um certo intervalo, a gente integra $ f(x) $ nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular $ P(0 < X < \frac{1}{2}) $. Isso significa que queremos a probabilidade de $ X $ estar entre 0 e 1/2. A fórmula para essa probabilidade é:
Passo 4
Agora, vamos fazer a integral:
Então, $ P\left(0 < X < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} $ ou 0,25.
Passo 5
Agora, vamos calcular $ P\left(\frac{1}{3} < X < 1\right) $. A fórmula será:
Passo 6
Vamos resolver essa integral também:
Portanto, $ P\left(\frac{1}{3} < X < 1\right) = \frac{8}{9} $ ou aproximadamente 0,8889.
Resposta
$ P\left(0 < X < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} $ e $ P\left(\frac{1}{3} < X < 1\right) = \frac{8}{9} $.