Seja X a v. a. contínua cuja densidade de probabilidade é
f(x)=2 x, 0 <= x <= 1
Calcule P(0 e P(1 / 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular duas probabilidades envolvendo uma variável aleatória contínua $ X $ com densidade de probabilidade dada por $ f(x) = 2x $ no intervalo de 0 a 1. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade contínua e integração de funções de densidade de probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função de densidade de probabilidade $ f(x) = 2x $. Essa função nos dá a “densidade” de probabilidade em cada ponto do intervalo [0, 1]. Para encontrar a probabilidade de $ X $ estar em um certo intervalo, a gente integra $ f(x) $ nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular $ P(0 < X < \frac{1}{2}) $. Isso significa que queremos a probabilidade de $ X $ estar entre 0 e 1/2. A fórmula para essa probabilidade é:
P(0 < X < 12)

Passo 4

Agora, vamos fazer a integral:
integral0^1/2 2x , dx = x^2 |0^1/2 = (12)^2 - 0^2 = 14 - 0 = 14
Então, $ P\left(0 < X < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} $ ou 0,25.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P\left(\frac{1}{3} < X < 1\right) $. A fórmula será:
P(13 < X < 1)

Passo 6

Vamos resolver essa integral também:
integral1/3^1 2x , dx = x^2 |1/3^1 = 1^2 - (13)^2 = 1 - 19 = 89
Portanto, $ P\left(\frac{1}{3} < X < 1\right) = \frac{8}{9} $ ou aproximadamente 0,8889.

Resposta

$ P\left(0 < X < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} $ e $ P\left(\frac{1}{3} < X < 1\right) = \frac{8}{9} $.

Exercícios relacionados