Seja
uma v.a. continua com densidade
.
Obtenha uma fórmula para a densidade de
em termos de
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Obtenha uma fórmula para a densidade de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua $ X $ com densidade $ f $. Queremos descobrir qual é a densidade de $ Y = X^{2} $ em termos de $ f $. Para isso, vamos usar conceitos de transformação de variáveis aleatórias contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar a densidade quando fazemos uma mudança de variável. Se $ Y = g(X) $, a densidade de $ Y $, $ f_Y(y) $, pode ser encontrada usando a fórmula:
onde $ x $ é a função inversa de $ y = g(x) $, ou seja, $ x = g^{-1}(y) $.
Passo 3
No nosso caso, $ Y = X^{2} $. Para achar a inversa, resolvemos para $ X $:
Isso significa que para cada $ y $ positivo, existem dois valores de $ x $ que satisfazem $ Y = X^{2} $: $ \sqrt{y} $ e $ -\sqrt{y} $.
Passo 4
Vamos calcular a derivada $ \frac{dx}{dy} $ para cada inversa:
Como estamos interessados no valor absoluto da derivada, ambos os termos vão dar $ \frac{1}{2\sqrt{y}} $.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da transformação para cada solução de $ x $:
Passo 6
Simplificando, podemos juntar os termos:
Resposta
A densidade de $ Y = X^{2} $ em termos de $ f $ é: