Seja X uma v.a. contínua que representa o tempo necessário para a pintura de uma peça de automóvel, em horas, com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=l 0 ; x<0 9 x^2-8 x^3 ; 0 <= x <= 1 0 ; x>1
Determine:
A probabilidade de gastar menos de meia hora para a pintura.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que temos uma variável aleatória contínua f(x)= 0, & x<0, 9x^2 - 8x^3, & 0<= x<=1, 0, & x>1 que mostra quanto tempo (em horas) leva pra pintar uma peça. A densidade é
E a pergunta é: qual a probabilidade de gastar menos de meia hora (ou seja, horas)?
Conteúdo envolvido: variáveis aleatórias contínuas, densidade de probabilidade, função de distribuição acumulada (CDF) e integração.

Passo 2

Pra achar F(x)=P(X<= x)=integral-infty^xf(t),dt a gente primeiro monta a função de distribuição acumulada (CDF), que é
F(x)=integral0^x l(9t^2 - 8t^3r),dt
Como integral 9t^2,dt = 9cdott^33=3t^3, integral 8t^3,dt = 8cdott^44=2t^4 pra F(x)=l[3t^3 - 2t^4r]0^x =3x^3 - 2x^4 , dá pra começar a integral em 0 quando :
Agora aplicamos a regra básica de integração:
Então

Passo 3

Só falta colocar F(0.5)=3,(0.5)^3 ;-;2,(0.5)^4 =3cdot18-2cdot116 =38-216 =38-18 =28 =14 pra achar :

Resposta

.

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