Seja X uma v.a. contínua que representa o tempo necessário para a pintura de uma peça de automóvel, em horas, com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=l 0 ; x<0 9 x^2-8 x^3 ; 0 <= x <= 1 0 ; x>1
Determine:
A probabilidade para que o tempo gasto se situe entre 1 / 2 e 3 / 4 de hora.

Passo 1

Beleza, então o exercício tá falando de uma variável aleatória contínua f(x)= 0, & x<0, 9x^2-8x^3, & 0<= x<=1, 0, & x>1 que mede o tempo de pintura de uma peça (em horas) e tem densidade
Pl(tfrac12 <= X<= tfrac34r) =integral1/2^3/4 f(x),dx
O que a gente precisa é a probabilidade de o tempo ficar entre P(a<= X<= b)=integrala^b f(x),dx e de hora. Isso é um problema de integração de função densidade:
Matéria envolvida: variável aleatória contínua e cálculo de probabilidade via integral da densidade. Vamos usar a teoria de que, para densidade ,

Passo 2

Primeira coisa prática: escrever a integral que queremos resolver:
integral1/2^3/4l(9x^2-8x^3r),dx
Pra calcular isso, precisamos achar uma primitiva (antiderivada) de .

Passo 3

Vamos derivar termo a termo:
  • A antiderivada de F(x)=3x^3-2x^4 é .
  • A antiderivada de é .
Ou seja, uma primitiva de é

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral1/2^3/4(9x^2-8x^3),dx =Fl(tfrac34r)-Fl(tfrac12r)
Calculemos cada termo:

Resposta

Pl(tfrac12 <= X <= tfrac34r) =81128-14 =81128-32128 =49128 approx0,3828

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