Seja X uma v.a. contínua que representa o tempo necessário para a pintura de uma peça de automóvel, em horas, com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=l 0 ; x<0 9 x^2-8 x^3 ; 0 <= x <= 1 0 ; x>1
Determine:
O tempo médio gasto na pintura da peça.

Passo 1

Beleza! A questão diz que temos uma variável aleatória contínua f(x) = 0, & x<0, 9x^2 - 8x^3, & 0 <= x <= 1, 0, & x>1 (o tempo pra pintar uma peça) com densidade
E[X] = integral-infty^infty x,f(x),dx
O que a gente quer é o tempo médio, ou seja, a esperança matemática . Para isso, vamos usar a definição de esperança para variáveis contínuas:

Passo 2

Como E[X] = integral0^1 x,(9x^2 - 8x^3),dx é zero fora de , a integral vira
Isso significa multiplicar pela densidade e integrar de 0 a 1.

Passo 3

Vamos primeiro distribuir o x,(9x^2 - 8x^3) = 9x^3 - 8x^4 :
E[X] = integral0^1 (9x^3 - 8x^4),dx
Então a esperança é

Passo 4

Agora aplicamos a regra de integração de potências:
integral x^n,dx = x^n+1n+1
Logo:
integral0^1 9x^3,dx = 9 cdot x^44|0^1 = 94,
integral0^1 8x^4,dx = 8 cdot x^55|0^1 = 85
Como era E[X] = 94 - 85 , subtraímos:

Passo 5

Agora é só colocar no mesmo denominador:
94 = 4520, 85 = 3220 Longrightarrow 4520 - 3220 = 1320

Resposta

O tempo médio gasto na pintura da peça é
boxedE[X] = 1320 horas approx 0,65 h

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