Seja uma v.a. contínua que representa o tempo necessário para a pintura de uma peça de automóvel, em horas, com função densidade de probabilidade dada por:
Determine:
O tempo médio gasto na pintura da peça.
Passo 1
Beleza! A questão diz que temos uma variável aleatória contínua f(x) = 0, & x<0, 9x^2 - 8x^3, & 0 <= x <= 1, 0, & x>1 (o tempo pra pintar uma peça) com densidade
E[X] = integral-infty^infty x,f(x),dx
O que a gente quer é o tempo médio, ou seja, a esperança matemática . Para isso, vamos usar a definição de esperança para variáveis contínuas:
Passo 2
Como E[X] = integral0^1 x,(9x^2 - 8x^3),dx é zero fora de , a integral vira
Isso significa multiplicar pela densidade e integrar de 0 a 1.
Passo 3
Vamos primeiro distribuir o x,(9x^2 - 8x^3) = 9x^3 - 8x^4 :
E[X] = integral0^1 (9x^3 - 8x^4),dx
Então a esperança é
Passo 4
Agora aplicamos a regra de integração de potências: