Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade dada por:
f(x)=l 0 ; x<0 a x ; 0 <= x<1 a ; 1 <= x<2 -a x+3 a ; 2 <= x<3 0 ; x>3
Determine a constante a.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que f(x)= 0, & x<0, a,x, & 0 <= x<1, a, & 1 <= x<2, -,a,x+3a, & 2 <= x<3, 0, & x>3 é uma variável aleatória contínua com densidade
O conteúdo aqui é “densidade de probabilidade contínua” e o que precisamos é a condição básica de qualquer densidade: a área total sob o gráfico de deve ser 1. Para isso, vamos integrar em cada pedaço e somar tudo.

Passo 2

A teoria: uma função integral-infty^infty f(x),dx = 1 é densidade de uma variável contínua se
integral0^1 a,x,dx ;+;integral1^2 a,dx ;+;integral2^3(-a,x+3a),dx ;=;1
Como fora de , basta calcular

Passo 3

Calcular I1 = aintegral0^1 x,dx = a;l[tfracx^22r]0^1 = a;l(tfrac1^22-0r) = tfraca2 .
Usamos a regra .

Passo 4

Calcular I2 = aintegral1^2 dx = a;l[xr]1^2 = a,(2-1) = a .
Aqui é só constante: .

Passo 5

Calcular I3 = -aintegral2^3 x,dx ;+;3aintegral2^3 dx .
Separando em duas integrais:
I3 = -tfrac5a2 + 3a = -tfrac5a2 + tfrac6a2 = tfraca2
  1. , então
  2. , então
    Somando:

Passo 6

Agora somamos tudo e igualamos a 1:
I1 + I2 + I3 = tfraca2 + a + tfraca2 = 2a ;stackrel!=;1
Logo a = tfrac12 , o que dá

Resposta

A constante que normaliza a função densidade é .

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