Seja X uma v.a. contínua que representa o tempo necessário para a pintura de uma peça de automóvel, em horas, com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=l 0 ; x<0 9 x^2-8 x^3 ; 0 <= x <= 1 0 ; x>1
Determine:
O desvio-padrão para o tempo gasto na pintura.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma variável aleatória contínua f(x)= 0, & x<0, 9x^2-8x^3, & 0<= x<=1, 0, & x>1 que mede o tempo de pintura de uma peça (em horas) e tem densidade
O que queremos é o desvio-padrão de . Pra isso a gente vai precisar calcular primeiro a esperança e , daí usa variância e por fim .

Passo 2

Calcular E[X]=integral-infty^infty x,f(x),dx =integral0^1 x,(9x^2-8x^3),dx . Por definição,
x,(9x^2-8x^3)=9x^3-8x^4
Dentro do intervalo fica
E[X] =integral0^1 (9x^3-8x^4),dx =l[tfrac94x^4-tfrac85x^5r]0^1 =tfrac94-tfrac85 =tfrac45-3220 =tfrac1320 =0,65
Integramos de 0 a 1:

Passo 3

Calcular E[X^2]=integral0^1 x^2,(9x^2-8x^3),dx =integral0^1(9x^4-8x^5),dx . Por definição,
E[X^2] =l[tfrac95x^5-tfrac86x^6r]0^1 =tfrac95-tfrac86 =tfrac95-tfrac43 =tfrac27-2015 =tfrac715 approx0,4667
Integramos:

Passo 4

Agora a variância:
Var(X) =E[X^2]-(E[X])^2 =tfrac715-l(tfrac1320r)^2 =tfrac715-tfrac169400
Colocando no mesmo denominador (600):
Var(X) =tfrac280600-tfrac253,5600 =tfrac26,5600 approx0,04417

Passo 5

Por fim o desvio-padrão:
sigma =raizVar(X) approxraiz0,04417 approx0,2102

Resposta

O desvio-padrão do tempo de pintura é aproximadamente horas.

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