Seja X uma V.A. definida no intervalo [a, b] cuja densidade é f_{X}(x)= \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b. Ache a fgm de X.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X com distribuição uniforme no intervalo [a,b]. A densidade é
f_{X}(x)=\frac{1}{b-a},\qquad a\le x\le b.
O que se pede: achar a fgm (função geradora de momentos) de X. Vou anotar também a definição que vou usar: a fgm de uma V.A. X é
M_X(t)=\mathbb{E}\big[e^{tX}\big]=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\,f_X(x)\,dx.

Passo 2

Como f_X(x) é diferente de zero apenas para x\in[a,b], a integral na definição reduz para esse intervalo. Assim,
M_X(t)=\int_a^b e^{tx}\,\frac{1}{b-a}\,dx.
Aqui expliquei por que limitei a integral a [a,b]: fora desse intervalo f_X(x)=0, então não contribui para a esperança.

Passo 3

Agora cálculo a integral. Primeiro suponha t\neq 0. A primitiva de e^{tx} em relação a x é \dfrac{1}{t}e^{tx}. Logo
\int_a^b e^{tx}\,dx=\left.\frac{1}{t}e^{tx}\right|_{x=a}^{x=b}=\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{b-a} da densidade, obtemos para t\neq 0:
M_X(t)=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t}=\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}.

Passo 4

Falta tratar o caso t=0. Pela definição da fgm,
M_X(0)=\mathbb{E}\big[e^{0\cdot X}\big]=\mathbb{E}[1]=1.
É bom também verificar que a expressão encontrada para t\neq 0 converge para 1 quando t\to 0. Tomando o limite,
\lim_{t\to 0}\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}.
Aplicando a regra de l’Hôpital (derivando numerador e denominador em relação a t) ou expandindo em série, tem-se
\lim_{t\to 0}\frac{b e^{tb}-a e^{ta}}{b-a}=\frac{b-a}{b-a}=1,
portanto a continuidade em t=0 fica confirmada e o valor é 1.

Passo 5

Comentário didático rápido: a fgm existe e é finita para todo t\in\mathbb{R} porque X tem suporte limitado [a,b] e e^{tx} é contínua em x nesse intervalo. Uma forma alternativa, às vezes útil, é escrever a fgm centralizada no ponto médio \dfrac{a+b}{2}:
M_X(t)=e^{t\frac{a+b}{2}}\;\frac{\operatorname{sinh}\!\big(t\frac{b-a}{2}\big)}{t\frac{b-a}{2}}.
Essa forma aparece ao fatorar e^{ta} ou e^{t\frac{a+b}{2}} da expressão anterior e usar \operatorname{sinh}.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar: se a=0 e b=1 (uniforme [0,1]), então
M_X(t)=\frac{e^{t}-1}{t},\quad t\neq 0,\qquad M_X(0)=1,
que é o caso usual que você verá com frequência.

Resposta

M_X(t)=\begin{cases} \displaystyle \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}, & t\neq 0,\\[8pt] 1, & t=0. \end{cases}]

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