Seja X uma V.A. definida no intervalo
cuja densidade é
. Ache a fgm de X.
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
com distribuição uniforme no intervalo
. A densidade é
O que se pede: achar a fgm (função geradora de momentos) de
. Vou anotar também a definição que vou usar: a fgm de uma V.A.
é
Passo 2
Como
é diferente de zero apenas para
, a integral na definição reduz para esse intervalo. Assim,
Aqui expliquei por que limitei a integral a
: fora desse intervalo
, então não contribui para a esperança.
Passo 3
Agora cálculo a integral. Primeiro suponha
. A primitiva de
em relação a
é
. Logo
Multiplicando pelo fator
da densidade, obtemos para
:
Passo 4
Falta tratar o caso
. Pela definição da fgm,
É bom também verificar que a expressão encontrada para
converge para
quando
. Tomando o limite,
Aplicando a regra de l’Hôpital (derivando numerador e denominador em relação a
) ou expandindo em série, tem-se
portanto a continuidade em
fica confirmada e o valor é
.
Passo 5
Comentário didático rápido: a fgm existe e é finita para todo
porque
tem suporte limitado
e
é contínua em
nesse intervalo. Uma forma alternativa, às vezes útil, é escrever a fgm centralizada no ponto médio
:
Essa forma aparece ao fatorar
ou
da expressão anterior e usar
.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar: se
e
(uniforme
), então
que é o caso usual que você verá com frequência.