Prove a desigualdade de Markov:
. Dica: execute os mesmos passos da questão 9.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: provar a desigualdade de Markov
Pressupostos claros (assumiremos isto sem pedir mais informações):
é uma variável aleatória com
para todo
(ou seja,
é não-negativa) e
. Não há outras hipóteses no enunciado, então estas são as que usamos.
Passo 2
Definição e propriedade útil: a função indicadora.
Defina a função indicadora do evento
Propriedade fundamental: a esperança da indicadora é a probabilidade do evento. Ou seja,
Explicação didática: por definição da esperança (soma ou integral), somar/integrar a indicadora sobre todo o espaço mede exatamente a massa (probabilidade) do conjunto onde a indicadora vale (1]. Em palavras: contar as ocorrências do evento fornece a probabilidade do evento.]
Passo 3
Comparação ponto a ponto entre
e
.
Para cada resultado (cada situação possível) há dois casos:
Para cada resultado
- Se
, então e portanto . Nesse caso . - Se
, então e portanto . Nesse caso , porque assumimos não-negativa.
Assim, em todos os casos vale, ponto a ponto,
Em notação compacta:
Passo 4
Tomando expectativas e usando propriedades da esperança.
A esperança preserva desigualdades para variáveis não-negativas (monotonicidade): se para todo
e ambas têm esperança bem-definida, então
. Aplicando isso à desigualdade do passo anterior obtemos
A esperança preserva desigualdades para variáveis não-negativas (monotonicidade): se
Como
é constante podemos tirar fora da esperança (linearidade da esperança):
Juntando as duas equalidades obtemos
Passo 5
Usando
do passo 2, substituímos na desigualdade do passo 4:
Finalmente, dividindo ambos os lados por
(dividir por número positivo preserva a desigualdade) chega-se à desigualdade de Markov desejada:
Passo 6
Comentário didático e exemplo rápido.
- Interpretação: a desigualdade dá um limite simples para a probabilidade de
ser grande, só a partir da média de . É útil quando não se conhece a distribuição completa. - Exemplo numérico: se
e , então Markov dá . Pode ser muito grosseiro, mas é garantido. - Caso de igualdade: a desigualdade pode ser alcançada; por exemplo, se
toma valor com probabilidade e valor com probabilidade , então e , então e a desigualdade é igualidade.