Prove a desigualdade de Markov: P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}. Dica: execute os mesmos passos da questão 9.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: provar a desigualdade de Markov
P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}.
Pressupostos claros (assumiremos isto sem pedir mais informações): X é uma variável aleatória com X(\omega)\ge 0 para todo \omega (ou seja, X é não-negativa) e a>0. Não há outras hipóteses no enunciado, então estas são as que usamos.

Passo 2

Definição e propriedade útil: a função indicadora.
Defina a função indicadora do evento \{X\ge a\}\) por \[I_{\{X\ge a\}}(\omega)= \begin{cases} 1, & \text{se } X(\omega)\ge a,\\[4pt] 0, & \text{se } X(\omega)< a. \end{cases}
Propriedade fundamental: a esperança da indicadora é a probabilidade do evento. Ou seja,
E\big(I_{\{X\ge a\}}\big)=P(X\ge a).
Explicação didática: por definição da esperança (soma ou integral), somar/integrar a indicadora sobre todo o espaço mede exatamente a massa (probabilidade) do conjunto onde a indicadora vale (1]. Em palavras: contar as ocorrências do evento fornece a probabilidade do evento.]

Passo 3

Comparação ponto a ponto entre X e a\cdot I_{\{X\ge a\}}.
Para cada resultado \omega (cada situação possível) há dois casos:
  • Se X(\omega)\ge a, então I_{\{X\ge a\}}(\omega)=1 e portanto a\cdot I_{\{X\ge a\}}(\omega)=a. Nesse caso X(\omega)\ge a = a\cdot I_{\{X\ge a\}}(\omega).
  • Se X(\omega)< a, então I_{\{X\ge a\}}(\omega)=0 e portanto a\cdot I_{\{X\ge a\}}(\omega)=0. Nesse caso X(\omega)\ge 0 = a\cdot I_{\{X\ge a\}}(\omega), porque assumimos X não-negativa.
Assim, em todos os casos vale, ponto a ponto,
X(\omega)\ge a\cdot I_{\{X\ge a\}}(\omega).
Em notação compacta:
X \ge a\cdot I_{\{X\ge a\}}.

Passo 4

Tomando expectativas e usando propriedades da esperança.
A esperança preserva desigualdades para variáveis não-negativas (monotonicidade): se Y_1(\omega)\ge Y_2(\omega) para todo \omega e ambas têm esperança bem-definida, então E(Y_1)\ge E(Y_2). Aplicando isso à desigualdade do passo anterior obtemos
E(X) \ge E\big(a\cdot I_{\{X\ge a\}}\big).
Como a é constante podemos tirar fora da esperança (linearidade da esperança):
E\big(a\cdot I_{\{X\ge a\}}\big)=a\;E\big(I_{\{X\ge a\}}\big).
Juntando as duas equalidades obtemos
E(X) \ge a\;E\big(I_{\{X\ge a\}}\big).

Passo 5

Usando E\big(I_{\{X\ge a\}}\big)=P(X\ge a) do passo 2, substituímos na desigualdade do passo 4:
E(X) \ge a\;P(X\ge a).
Finalmente, dividindo ambos os lados por a>0 (dividir por número positivo preserva a desigualdade) chega-se à desigualdade de Markov desejada:
P(X\ge a) \le \frac{E(X)}{a}.

Passo 6

Comentário didático e exemplo rápido.
  • Interpretação: a desigualdade dá um limite simples para a probabilidade de X ser grande, só a partir da média de X. É útil quando não se conhece a distribuição completa.
  • Exemplo numérico: se E(X)=2 e a=5, então Markov dá P(X\ge5)\le \tfrac{2}{5}=0,4. Pode ser muito grosseiro, mas é garantido.
  • Caso de igualdade: a desigualdade pode ser alcançada; por exemplo, se X toma valor 0 com probabilidade 1-p e valor a com probabilidade p, então E(X)=ap e P(X\ge a)=p, então p=E(X)/a e a desigualdade é igualidade.

Resposta

P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}.

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