Seja X uma V.A com f.d.p
. Considere
. Obtenha
.
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
com f.d.p.
e define
. A tarefa é obter
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função densidade
sugere suporte em (para a expressão não é não-negativa), então integraremos em . - Queremos o valor esperado da variável
, isto é .
Passo 2
Regra que vamos usar (definição de esperança para função de
):
Aqui
, portanto
Como o suporte de
é
, a integral reduz-se a
Passo 3
Substituindo
na integral, obtemos a expressão a calcular:
Vou simplificar essa integral com uma mudança de variável.
Passo 4
Fazer a substituição
. Então
(ou seja,
). Também,
.
Transformando a integranda:
Transformando a integranda:
Os limites: quando
temos
; quando
temos
. Logo a integral vira
Passo 5
Calcular
. Faço por integração por partes (ou usar que é
):
Escolher e
. Então
e
. Assim
Escolher
Avalia nos limites
e
:
- Para
, . - Para
, .
Portanto
Passo 6
Concluímos que
Boa! O passo-chave foi reconhecer que
e fazer a substituição
para resolver a integral de forma simples.