Seja X uma V.A com f.d.p f_{X}(x)=2 x e^{-x^{2}}. Considere Y=X^{2}. Obtenha E(Y).

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X com f.d.p.
f_{X}(x)=2 x e^{-x^{2}}
e define Y=X^{2}. A tarefa é obter E(Y).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função densidade f_{X}(x)=2 x e^{-x^{2}} sugere suporte em x\ge 0 (para x<0 a expressão não é não-negativa), então integraremos em [0,\infty).
  • Queremos o valor esperado da variável Y, isto é E(Y).

Passo 2

Regra que vamos usar (definição de esperança para função de X):
\text{Se }Y=g(X)\text{ então }E(Y)=E\bigl(g(X)\bigr)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,f_X(x)\,dx.ã
Aqui g(x)=x^{2}, portanto
E(Y)=E(X^{2})=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f_X(x)\,dx.
Como o suporte de f_X é [0,\infty), a integral reduz-se a
E(Y)=\int_{0}^{\infty} x^{2} f_X(x)\,dx.

Passo 3

Substituindo f_X(x) na integral, obtemos a expressão a calcular:
E(Y)=\int_{0}^{\infty} x^{2}\cdot 2x e^{-x^{2}}\,dx=\int_{0}^{\infty} 2x^{3} e^{-x^{2}}\,dx.
Vou simplificar essa integral com uma mudança de variável.

Passo 4

Fazer a substituição \;u=x^{2}\;. Então \;du=2x\,dx\; (ou seja, x\,dx=du/2). Também, x^{2}=u.
Transformando a integranda:
2x^{3} e^{-x^{2}}\,dx = 2\bigl(x^{2}\bigr)\bigl(x\,dx\bigr)e^{-u} = 2u\cdot\frac{du}{2} e^{-u}=u e^{-u}\,du.
Os limites: quando x=0 temos u=0; quando x\to\infty temos u\to\infty. Logo a integral vira
E(Y)=\int_{0}^{\infty} u e^{-u}\,du.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\infty} u e^{-u}\,du. Faço por integração por partes (ou usar que é \Gamma(2)):
Escolher a=u e db=e^{-u}du. Então da=du e b=-e^{-u}. Assim
\int u e^{-u}\,du = -u e^{-u} + \int e^{-u}\,du = -u e^{-u} - e^{-u} + C = -(u+1)e^{-u}+C.
Avalia nos limites 0 e \infty:
  • Para u\to\infty, (u+1)e^{-u}\to 0.
  • Para u=0, -(0+1)e^{0}=-1.
Portanto
\int_{0}^{\infty} u e^{-u}\,du = 0 - (-1) = 1.

Passo 6

Concluímos que
E(Y)=1.
Boa! O passo-chave foi reconhecer que E(Y)=E(X^{2}) e fazer a substituição \;u=x^{2}\; para resolver a integral de forma simples.

Resposta

1

Exercícios relacionados