Seja
uma v.a. com densidade
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma variável aleatória $ X $ com uma função de densidade definida por:
O objetivo é encontrar o valor esperado de $ X $, ou seja, $ E(X) $. Para resolver isso, precisamos entender conceitos de funções de densidade de probabilidade e como calcular o valor esperado usando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir o valor de $ c $. Sabemos que a função de densidade de probabilidade $ f(x) $ deve satisfazer que a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio é igual a 1:
No nosso caso, $ f(x) = 0 $ fora de
, então podemos simplificar a integral:
Vamos calcular essa integral:
Então, temos:
Passo 3
Agora que sabemos que $ c = \frac{3}{2} $, podemos calcular o valor esperado $ E(X) $. A fórmula para o valor esperado de uma variável contínua é:
Substituindo $ f(x) $ e os limites de integração:
Vamos calcular essa integral:
Resposta
O valor esperado $ E(X) $ é igual a 0.