Seja
uma v.a. com densidade
Ache o valor de
tal que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui! Temos uma variável aleatória $ X $ com uma função densidade de probabilidade definida por:
O objetivo é encontrar o valor de $ \alpha $ tal que a função de distribuição acumulada $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de função densidade de probabilidade (f.d.p.) e função de distribuição acumulada (f.d.a.). Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar o valor da constante $ c $ na função densidade $ f(x) $. Sabemos que para qualquer f.d.p., a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1, ou seja:
No nosso caso, $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre -1 e 1, então:
Vamos resolver essa integral para encontrar $ c $.
Passo 3
Vamos calcular a integral:
A integral de $ x^{2} $ é:
Aplicando os limites de -1 a 1:
Então:
Passo 4
Agora que temos $ c = \frac{3}{2} $, podemos escrever a função densidade completa:
Próximo passo: encontrar a função de distribuição acumulada $ F(x) $ e resolver $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $.
Passo 5
A função de distribuição acumulada $ F(x) $ é definida como:
Como $ f(t) = 0 $ para $ t < -1 $, podemos ajustar os limites:
Vamos calcular essa integral.
Passo 6
Calculando a integral:
A integral de $ t^{2} $ é:
Aplicando os limites de -1 a $ x $:
Então, a função de distribuição acumulada é:
Passo 7
Agora, queremos encontrar $ \alpha $ tal que $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $. Então, temos:
Vamos resolver essa equação para $ \alpha $.
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Então:
Passo 9
Calculando a raiz cúbica de $ -\frac{1}{2} $:
Resposta
O valor de $ \alpha $ que satisfaz $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $ é aproximadamente $ \alpha \approx -0,7937 $.