Seja X uma v.a. com densidade
f(x)=ll c x^2, & -1 <= x <= 1 0, & cc
Ache o valor de alpha tal que F(alpha)=14

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui! Temos uma variável aleatória $ X $ com uma função densidade de probabilidade definida por:
X á
O objetivo é encontrar o valor de $ \alpha $ tal que a função de distribuição acumulada $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de função densidade de probabilidade (f.d.p.) e função de distribuição acumulada (f.d.a.). Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o valor da constante $ c $ na função densidade $ f(x) $. Sabemos que para qualquer f.d.p., a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1, ou seja:
c
No nosso caso, $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre -1 e 1, então:
f(x)
Vamos resolver essa integral para encontrar $ c $.

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integral-1^1 c x^2 , dx = c integral-1^1 x^2 , dx
A integral de $ x^{2} $ é:
x^2
Aplicando os limites de -1 a 1:
integral x^2 , dx = x^33 + C
Então:
c [ (1)^33 - (-1)^33 ] = c ( 13 - ( -13 ) ) = c ( 23 )

Passo 4

Agora que temos $ c = \frac{3}{2} $, podemos escrever a função densidade completa:
c = 32 á
Próximo passo: encontrar a função de distribuição acumulada $ F(x) $ e resolver $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $.

Passo 5

A função de distribuição acumulada $ F(x) $ é definida como:
F(x)
Como $ f(t) = 0 $ para $ t < -1 $, podemos ajustar os limites:
F(x) = integral-infty^x f(t) , dt
Vamos calcular essa integral.

Passo 6

Calculando a integral:
F(x) = 32 integral-1^x t^2 , dt
A integral de $ t^{2} $ é:
t^2
Aplicando os limites de -1 a $ x $:
integral t^2 , dt = t^33 + C
Então, a função de distribuição acumulada é:
x

Passo 7

Agora, queremos encontrar $ \alpha $ tal que $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $. Então, temos:
alpha
Vamos resolver essa equação para $ \alpha $.

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
alpha^3 + 1 = 12
Subtraindo 1 de ambos os lados:
alpha^3 = 12 - 1 = -12
Então:
alpha = raiz[3] -12

Passo 9

Calculando a raiz cúbica de $ -\frac{1}{2} $:
-12

Resposta

O valor de $ \alpha $ que satisfaz $ F(\alpha) = \frac{1}{4} $ é aproximadamente $ \alpha \approx -0,7937 $.

Exercícios relacionados