Seja
uma v.a. com densidade
Determine o valor da constante c.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função densidade definida por $ f(x) = c x^{2} $ no intervalo de
a
e $ f(x) = 0 $ fora desse intervalo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor da constante $ c $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especificamente sobre funções densidade de probabilidade e a propriedade de que a integral da função densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para qualquer função densidade de probabilidade $ f(x) $, a área sob a curva dessa função no seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
No nosso caso, a função $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre
e
, então a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é:
Então, substituindo os limites de
a
:
Passo 4
Agora que sabemos que:
Podemos voltar à nossa equação original:
Para encontrar $ c $, basta isolar essa variável:
Resposta
O valor da constante $ c $ é $ \frac{3}{2} $.