Seja X uma v.a. com densidade
f(x)=ll c x^2, & -1 <= x <= 1 0, & cc
Determine o valor da constante c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função densidade definida por $ f(x) = c x^{2} $ no intervalo de X a f(x) = c x^2 e $ f(x) = 0 $ fora desse intervalo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor da constante $ c $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especificamente sobre funções densidade de probabilidade e a propriedade de que a integral da função densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para qualquer função densidade de probabilidade $ f(x) $, a área sob a curva dessa função no seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
f(x)
No nosso caso, a função $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre integral-infty^infty f(x) , dx = 1 e f(x) , então a integral fica:
-1

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é:
x^2
Então, substituindo os limites de x a integral x^2 , dx = x^33 + C :
-1

Passo 4

Agora que sabemos que:
integral-1^1 x^2 , dx = 23
Podemos voltar à nossa equação original:
c times 23 = 1
Para encontrar $ c $, basta isolar essa variável:
c

Resposta

O valor da constante $ c $ é $ \frac{3}{2} $.

Exercícios relacionados