Seja X uma v.a. com função distribuição acumulada dada por:
Ache a função densidade de F(x)=c 0, se x<3 x-3 , se 3 <= x <= 4 1 , se x>4

Passo 1

Beleza, então o que a questão pede é: a gente tem uma variável aleatória F(x)= 0, & x<3, x-3, & 3<= x<= 4, 1, & x>4 contínua cujo CDF (função distribuição acumulada) é
f(x)=F'(x)
O conteúdo aqui é Distribuições Contínuas em Probabilidade, e o que vamos precisar é a relação básica entre CDF e PDF (densidade):
— A definição de CDF, que é .
— O fato de que, para variáveis contínuas, a PDF é a derivada de , ou seja

Passo 2

Tudo gira em derivar f(x)=ddx0=0 pedaço por pedaço:
  1. Para f(x)=ddx(x-3)=1 , f(x)=ddx1=0 é constante, então
  1. Para , , daí
  1. Para , também é constante, então
Repara que em e em o é contínuo (não tem pulo), então não há massa concentrada nesses pontos. A gente pode compactar dizendo que em todo intervalo aberto e zero no resto.

Passo 3

Pra ter certeza de que está tudo certo, confere se a PDF integra 1:
integral-infty^inftyf(x),dx =integral3^41,dx =4-3 =1
Perfeito, soma certinho.

Resposta

f(x)= 1, & 3á

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