Suponha que X, o número de pessoas que entram em uma agência de correio em certo dia, seja uma variável aleatória de Poisson com parâmetro mu e que cada pessoa seja contada independentemente com probabilidade p. Mostre que o número de pessoas contadas e o número de pessoas não contadas são variáveis aleatórias de Poisson com respectivas médias mu p e mu(1-p). Dica: calcular a função geradora de momentos conjunta de Xc, o número de pessoas contadas, e de X-Xc, o número de pessoas não contadas, condicionado em X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma situação onde temos um certo número de pessoas entrando em uma agência dos correios em um dia, e cada uma delas tem uma chance de ser contada. A gente vai usar o conceito de variável aleatória de Poisson, que é útil para modelar eventos que acontecem de forma independente ao longo do tempo ou espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuições de Poisson e funções geradoras de momentos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. Uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \mu $ tem a função de probabilidade dada por:
X
Isso significa que $ X $ representa o número de eventos (neste caso, pessoas entrando na agência) que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço.

Passo 3

Agora, cada pessoa que entra na agência tem uma probabilidade $ p $ de ser contada. Queremos mostrar que o número de pessoas contadas ($ X_c p úã X - X_c $) também seguem distribuições de Poisson, com médias $ \mu p $ e $ \mu (1 - p) $, respectivamente.

Passo 4

Para fazer isso, vamos usar a dica: calcular a função geradora de momentos conjunta de $ X_c $ e $ X - X_c $, condicionada em $ X $. A função geradora de momentos (FGM) é uma ferramenta que nos ajuda a identificar a distribuição de uma variável aleatória.
A FGM conjunta de $ X_c $ e $ X - X_c $ condicionada em $ X $ é dada por:
Xc

Passo 5

Como cada pessoa é contada independentemente com probabilidade $ p $, dado que $ X = n $ pessoas entraram, $ X_c $ segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n $ e $ p $:
p
Portanto, a FGM condicional fica:
X = n

Passo 6

Agora, para encontrar a FGM conjunta sem a condição, usamos a Lei da Probabilidade Total:
GXc, X - Xc(s, t) = E[(ps + t)^X] = sumn=0^infty (ps + t)^n P(X = n)
Substituindo $ P(X = n) $ pela função de Poisson:
P(X = n)

Passo 7

Agora, vamos ver se essa FGM corresponde à de variáveis de Poisson independentes. Se $ X_c $ e $ X - X_c $ forem independentes e de Poisson com parâmetros $ \mu p $ e $ \mu (1 - p) $, respectivamente, então a FGM conjunta seria:
Xc
Isso é exatamente igual à FGM que encontramos anteriormente!

Resposta

Portanto, mostramos que o número de pessoas contadas $ X_c $ e o número de pessoas não contadas $ X - X_c $ seguem distribuições de Poisson independentes com médias $ \mu p $ e $ \mu (1 - p) $, respectivamente.
Xc

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