Suponha que
, o número de pessoas que entram em uma agência de correio em certo dia, seja uma variável aleatória de Poisson com parâmetro
e que cada pessoa seja contada independentemente com probabilidade
. Mostre que o número de pessoas contadas e o número de pessoas não contadas são variáveis aleatórias de Poisson com respectivas médias
e
. Dica: calcular a função geradora de momentos conjunta de
, o número de pessoas contadas, e de
, o número de pessoas não contadas, condicionado em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma situação onde temos um certo número de pessoas entrando em uma agência dos correios em um dia, e cada uma delas tem uma chance de ser contada. A gente vai usar o conceito de variável aleatória de Poisson, que é útil para modelar eventos que acontecem de forma independente ao longo do tempo ou espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuições de Poisson e funções geradoras de momentos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. Uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \mu $ tem a função de probabilidade dada por:
Isso significa que $ X $ representa o número de eventos (neste caso, pessoas entrando na agência) que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço.
Passo 3
Agora, cada pessoa que entra na agência tem uma probabilidade $ p $ de ser contada. Queremos mostrar que o número de pessoas contadas ($ X_c
X - X_c $) também seguem distribuições de Poisson, com médias $ \mu p $ e $ \mu (1 - p) $, respectivamente.
Passo 4
Para fazer isso, vamos usar a dica: calcular a função geradora de momentos conjunta de $ X_c $ e $ X - X_c $, condicionada em $ X $. A função geradora de momentos (FGM) é uma ferramenta que nos ajuda a identificar a distribuição de uma variável aleatória.
A FGM conjunta de $ X_c $ e $ X - X_c $ condicionada em $ X $ é dada por:
Passo 5
Como cada pessoa é contada independentemente com probabilidade $ p $, dado que $ X = n $ pessoas entraram, $ X_c $ segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n $ e $ p $:
Portanto, a FGM condicional fica:
Passo 6
Agora, para encontrar a FGM conjunta sem a condição, usamos a Lei da Probabilidade Total:
Substituindo $ P(X = n) $ pela função de Poisson:
Passo 7
Agora, vamos ver se essa FGM corresponde à de variáveis de Poisson independentes. Se $ X_c $ e $ X - X_c $ forem independentes e de Poisson com parâmetros $ \mu p $ e $ \mu (1 - p) $, respectivamente, então a FGM conjunta seria:
Isso é exatamente igual à FGM que encontramos anteriormente!
Resposta
Portanto, mostramos que o número de pessoas contadas $ X_c $ e o número de pessoas não contadas $ X - X_c $ seguem distribuições de Poisson independentes com médias $ \mu p $ e $ \mu (1 - p) $, respectivamente.