Seja X uma VAC, com função densidade
f(x)=ll 12(3-x), & se 1 <= x <= 3 0, & caso contrário á
Faça um gráfico desta função de distribuição acumulada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para fazermos o gráfico da função de distribuição acumulada (CDF) de uma Variável Aleatória Contínua (VAC) $ X $ que tem a seguinte função densidade de probabilidade (pdf):
X á
Então, vamos precisar entender como construir a CDF a partir dessa pdf.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada (CDF). A CDF, denotada por $ F(x) $, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $. Matematicamente, é definida como:
F(x)
No nosso caso, como a pdf $ f(x) $ é zero para $ x < 1 $ e $ x > 3 $, vamos dividir o cálculo da CDF em três partes:
  1. Para $ x < 1 $: Como $ f(x) = 0 $ nesse intervalo, a CDF também será zero.
  2. Para $ 1 \leq x \leq 3 $: Aqui, precisamos integrar a pdf de 1 até $ x $.
  3. Para $ x > 3 $: A CDF será igual a 1, pois acumulamos todas as probabilidades possíveis.

Passo 3

Vamos calcular cada parte da CDF:
  1. Para $ x < 1 $:
    x < 1
  2. Para $ 1 \leq x \leq 3 $:
    Vamos integrar a pdf de 1 até $ x $:
    F(x) = 0
    Vamos resolver essa integral:
    1 <= x <= 3
    Calculando nos limites:
    x
    Simplificando:
    F(x) = integral1^x 12(3 - t) , dt
    Podemos reorganizar para deixar mais claro:
    F(x) = 12 integral1^x (3 - t) , dt = 12 [ 3t - t^22 ]1^x
  3. Para $ x > 3 $:
    F(x) = 12 ( 3x - x^22 - (3(1) - 1^22) ) = 12 ( 3x - x^22 - 52 )

Passo 4

Agora, vamos resumir a função de distribuição acumulada $ F(x) $:
F(x)

Resposta

A função de distribuição acumulada $ F(x) $ é dada por:
F(x)

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