Seja
uma VAC, com função densidade
Faça um gráfico desta função de distribuição acumulada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para fazermos o gráfico da função de distribuição acumulada (CDF) de uma Variável Aleatória Contínua (VAC) $ X $ que tem a seguinte função densidade de probabilidade (pdf):
Então, vamos precisar entender como construir a CDF a partir dessa pdf.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada (CDF). A CDF, denotada por $ F(x) $, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $. Matematicamente, é definida como:
No nosso caso, como a pdf $ f(x) $ é zero para $ x < 1 $ e $ x > 3 $, vamos dividir o cálculo da CDF em três partes:
- Para $ x < 1 $: Como $ f(x) = 0 $ nesse intervalo, a CDF também será zero.
- Para $ 1 \leq x \leq 3 $: Aqui, precisamos integrar a pdf de 1 até $ x $.
- Para $ x > 3 $: A CDF será igual a 1, pois acumulamos todas as probabilidades possíveis.
Passo 3
Vamos calcular cada parte da CDF:
-
Para $ x < 1 $:
-
Para $ 1 \leq x \leq 3 $:Vamos integrar a pdf de 1 até $ x $:Vamos resolver essa integral:Calculando nos limites:Simplificando:Podemos reorganizar para deixar mais claro:
-
Para $ x > 3 $:
Passo 4
Agora, vamos resumir a função de distribuição acumulada $ F(x) $:
Resposta
A função de distribuição acumulada $ F(x) $ é dada por: