Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua com uma função densidade dada por:
O que a gente precisa encontrar é a função de distribuição acumulada (CDF) dessa variável, que basicamente nos diz a probabilidade de ser menor ou igual a um certo valor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada, . Ela é definida como:
Ou seja, é a integral da função densidade desde o menos infinito até o ponto . No nosso caso, a função é diferente de zero apenas entre 1 e 3, então a integral vai depender de onde está em relação a esses valores.
Passo 3
Vamos dividir a solução em três casos, de acordo com o valor de :
Quando :
Aqui, para todo porque a função densidade só é positiva entre 1 e 3.
Portanto, .
Quando :
Agora, vamos calcular a integral de de 1 até (já que antes de 1 a função é zero).
Ou seja:
Vamos resolver essa integral:Simplificando mais:
Quando :
Aqui, toda a área da função densidade já foi acumulada, então .
Passo 4
Agora, juntando todos os casos, a função de distribuição acumulada fica assim:
Resposta
A função de distribuição acumulada de X é:
F(x) = ll 0, & se x < 1 -x^2 + 6x - 54, & se 1 <= x <= 3 1, & se x > 3