Seja X uma VAC, com função densidade
f(x)=ll 12(3-x), & se 1 <= x <= 3 0, & caso contrário á
Determine a função de distribuição acumulada de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua X com uma função densidade dada por:
f(x)=ll 12(3-x), & se 1 <= x <= 3 0, & caso contrário á
O que a gente precisa encontrar é a função de distribuição acumulada (CDF) dessa variável, que basicamente nos diz a probabilidade de X ser menor ou igual a um certo valor x. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada, F(x). Ela é definida como:
F(x) = P(X <= x) = integral-infty^x f(t) , dt
Ou seja, é a integral da função densidade desde o menos infinito até o ponto x. No nosso caso, a função f(x) é diferente de zero apenas entre 1 e 3, então a integral vai depender de onde x está em relação a esses valores.

Passo 3

Vamos dividir a solução em três casos, de acordo com o valor de x:
  1. Quando x < 1:
    • Aqui, f(t) = 0 para todo t <= x porque a função densidade só é positiva entre 1 e 3.
    • Portanto, F(x) = 0.
  2. Quando 1 <= x <= 3:
    • Agora, vamos calcular a integral de f(t) de 1 até x (já que antes de 1 a função é zero).
    • Ou seja: F(x) = integral1^x 12(3 - t) , dt
    • Vamos resolver essa integral: F(x) = 12 integral1^x (3 - t) , dt = 12 [3t - t^22]1^x F(x) = 12 [(3x - x^22) - (3(1) - 1^22)] F(x) = 12 (3x - x^22 - 3 + 12) F(x) = 12 (3x - x^22 - 52) F(x) = 3x2 - x^24 - 54 F(x) = 3x2 - x^24 - 54 Simplificando mais: F(x) = -x^2 + 6x - 54
  3. Quando x > 3:
    • Aqui, toda a área da função densidade já foi acumulada, então F(x) = 1.

Passo 4

Agora, juntando todos os casos, a função de distribuição acumulada F(x) fica assim:
F(x) = ll 0, & se x < 1 -x^2 + 6x - 54, & se 1 <= x <= 3 1, & se x > 3

Resposta

A função de distribuição acumulada de X é:
F(x) = ll 0, & se x < 1 -x^2 + 6x - 54, & se 1 <= x <= 3 1, & se x > 3

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