Seja X uma VAC, com função densidade
f(x)=ll 12(3-x), & se 1 <= x <= 3 0, & caso contrário á
Determine função densidade de probabilidade de Y=-2 ln (X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com a função densidade dada por:
X á
E precisamos encontrar a função densidade de probabilidade da nova variável $ Y = -2 \ln(X) $. Para isso, vamos usar o método de transformação de variáveis, que nos ajuda a descobrir a distribuição de uma função de uma variável aleatória.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar $ Y $ em termos de $ X $:
Y
Para facilitar a transformação, vamos resolver essa equação para $ X $:
X
Essa é a função inversa que precisamos.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função inversa $ X = e^{-\frac{Y}{2}} $ em relação a $ Y $:
X = e^-Y2
A derivada é importante porque ela aparece na fórmula da transformação de variáveis.

Passo 4

A fórmula para transformar a função densidade é:
fY(y) = fX(x) | dXdY |
Substituindo $ X = e^{-\frac{Y}{2}} $ e a derivada que encontramos:
X = e^-Y2

Passo 5

Precisamos determinar para quais valores de $ y $ essa função densidade é válida. Sabemos que $ X $ está no intervalo [1, 3], então:
y
Resolvendo para $ y $:
X
Então, a função densidade $ f_Y(y) $ é válida para $ y \geq 0 $.

Resposta

A função densidade de probabilidade de $ Y = -2 \ln(X) $ é:
Y = -2 ln(X) á

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