Seja
uma VAC, com função densidade
Determine função densidade de probabilidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com a função densidade dada por:
E precisamos encontrar a função densidade de probabilidade da nova variável $ Y = -2 \ln(X) $. Para isso, vamos usar o método de transformação de variáveis, que nos ajuda a descobrir a distribuição de uma função de uma variável aleatória.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar $ Y $ em termos de $ X $:
Para facilitar a transformação, vamos resolver essa equação para $ X $:
Essa é a função inversa que precisamos.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função inversa $ X = e^{-\frac{Y}{2}} $ em relação a $ Y $:
A derivada é importante porque ela aparece na fórmula da transformação de variáveis.
Passo 4
A fórmula para transformar a função densidade é:
Substituindo $ X = e^{-\frac{Y}{2}} $ e a derivada que encontramos:
Passo 5
Precisamos determinar para quais valores de $ y $ essa função densidade é válida. Sabemos que $ X $ está no intervalo [1, 3], então:
Resolvendo para $ y $:
Então, a função densidade $ f_Y(y) $ é válida para $ y \geq 0 $.
Resposta
A função densidade de probabilidade de $ Y = -2 \ln(X) $ é: