Seja E(X)=1 e Var(X)=5, determine: Var(3 X^2+2 X+3).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Seja e . Determine .”
Conteúdo: variância de função de variável aleatória.
O que vamos precisar:
  • A fórmula geral .
  • Calcular , , (ou ver porque não dá para calcular sem mais dados).

Passo 2

Primeiro a gente lembra: se Var(Y)=El(g(X)^2r);-;l[El(g(X)r)r]^2 , então
Aqui .

Passo 3

Vamos achar E(3X^2+2X+3) =3E(X^2)+2E(X)+3 .
Usamos linearidade de esperança:
E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=5+1^2=6
Sabemos E(g(X))=3cdot6+2cdot1+3=18+2+3=23 e também
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Passo 4

Agora expandimos (3X^2+2X+3)^2 =9X^4+12X^3+22X^2+12X+9 :
El(g(X)^2r) =9E(X^4)+12E(X^3)+22E(X^2)+12E(X)+9
Então
Repare: para avaliar isso a gente precisa de e , além de e .

Passo 5

O problema só nos deu e . Com isso conseguimos , mas não há informação sobre os momentos de ordem 3 e 4 de . Sem saber como é a distribuição de (por exemplo, se fosse normal, aí teríamos fórmulas para e ), não dá pra fechar numericamente .

Resposta

Não é possível determinar um valor numérico para apenas com e ; faltam os momentos de ordem superior (como e ).

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