Seja X uma variável aleatória de Bernoulli, cuja função de probabilidade é dada por:
f(x, p)=\left\{\begin{array}{cc} p^{x}(1-p)^{1-x}, & x=0 ; 1 \\\\ 0, & \text { c.c. } \end{array}\right.
Obtenha o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro p, que descreve a probabilidade de sucesso. (Resposta: \hat{p}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} )

Passo 1

O que o enunciado pede e o que sabemos:
  • Pede: encontrar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para o parâmetro p\) da distribuição Bernoulli (probabilidade de sucesso). - Dado: uma variável aleatória \(X\) com função de probabilidade \[f(x,p)=\begin{cases} p^{x}(1-p)^{1-x}, & x=0,1,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
  • Informação implícita necessária: suponha uma amostra independente e identicamente distribuída (i.i.d.) de tamanho n\]: \(X_1,X_2,\dots,X_n. Essas são as observações que você tem na prova.
  • O que vamos determinar: a fórmula do estimador \hat{p} em função das observações X_1,\dots,X_n.]

Passo 2

Definir a função de verossimilhança. A verossimilhança é a função que dá a probabilidade (ou densidade) conjunta das observações vistas como função do parâmetro p. Para variáveis i.i.d. multiplicamos as probabilidades:
L(p)=\prod_{i=1}^{n} f(X_i,p).
Substituindo a forma da Bernoulli obtemos (cada X_i vale 0 ou 1):
L(p)=\prod_{i=1}^{n} p^{X_i}(1-p)^{1-X_i}.
Agora simplificamos somando expoentes. Defina S=\sum_{i=1}^{n} X_i, que é o número de sucessos observados. Então:
L(p)=p^{\sum_{i=1}^{n} X_i}(1-p)^{\sum_{i=1}^{n}(1-X_i)}=p^{S}(1-p)^{n-S}.
Comentário didático: aqui S conta quantos 1's aparecem; se, por exemplo, em n=10 observações houve 7 sucessos, então S=7 e a verossimilhança é p^{7}(1-p)^{3}.

Passo 3

Tomar o logaritmo da verossimilhança (log-verossimilhança) para facilitar derivação. Logaritmo é útil porque transforma produtos em somas e tem a mesma posição do máximo (log é monotonicamente crescente):
\ell(p)=\ln L(p)=\ln\bigl(p^{S}(1-p)^{n-S}\bigr)=S\ln p + (n-S)\ln(1-p).
Agora derivamos \ell(p) em relação a p e igualamos a zero para encontrar pontos críticos:
\frac{d\ell}{dp}=\frac{S}{p} - \frac{n-S}{1-p}.
Igualando a zero:
\frac{S}{p} - \frac{n-S}{1-p}=0.
Resolver essa equação passo a passo. Passo 1: passar um termo pro outro:
\frac{S}{p}=\frac{n-S}{1-p}.
Passo 2: cruzar multiplicando:
S(1-p) = (n-S)p.
Passo 3: expandir e coletar termos em p:
S - Sp = np - Sp \quad\Rightarrow\quad S = np.
Finalmente isolar p:
\hat{p} = \frac{S}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.
Interpretação didática: o estimador da máxima verossimilhança para p é a proporção de sucessos observada, ou seja, a média amostral das X_i.

Passo 4

Verificar que o ponto encontrado é um máximo (e tratar caso de borda). Calculamos a segunda derivada da log-verossimilhança:
\frac{d^{2}\ell}{dp^{2}} = -\frac{S}{p^{2}} - \frac{n-S}{(1-p)^{2}}.
Essa quantidade é negativa para 0<p<1 (porque soma de termos negativos), portanto o ponto crítico é um máximo local. Comentário sobre extremos: se S=0 então todas as observações são 0 e a verossimilhança é máxima em p=0; se S=n então todas são 1 e o máximo ocorre em p=1. A fórmula \hat p=S/n também engloba esses casos (0 e 1).

Passo 5

Dicas práticas para a prova e interpretação:
  • Método rápido: conte os sucessos S e divida por n. Esse é o MLE.
  • Em palavras: a melhor estimativa de p pela verossimilhança é a frequência relativa de sucessos na amostra.
  • Exemplo numérico curto: se n=10 e as observações são 1,0,1,1,0,1,0,1,1,0, então S=6 e \hat p=6/10=0,6.
  • Propriedades úteis (curtas): \mathbb{E}[\hat p]=p (é não viciado) e \operatorname{Var}(\hat p)=\dfrac{p(1-p)}{n}.

Resposta

\hat{p}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}

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