Obtenha o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro p, que descreve a probabilidade de sucesso. (Resposta: \hat{p}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} )
Passo 1
O que o enunciado pede e o que sabemos:
Pede: encontrar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para o parâmetro p\) da distribuição Bernoulli (probabilidade de sucesso).
- Dado: uma variável aleatória \(X\) com função de probabilidade
\[f(x,p)=\begin{cases} p^{x}(1-p)^{1-x}, & x=0,1,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
Informação implícita necessária: suponha uma amostra independente e identicamente distribuída (i.i.d.) de tamanho n\]: \(X_1,X_2,\dots,X_n. Essas são as observações que você tem na prova.
O que vamos determinar: a fórmula do estimador \hat{p} em função das observações X_1,\dots,X_n.]
Passo 2
Definir a função de verossimilhança. A verossimilhança é a função que dá a probabilidade (ou densidade) conjunta das observações vistas como função do parâmetro p. Para variáveis i.i.d. multiplicamos as probabilidades:
L(p)=\prod_{i=1}^{n} f(X_i,p).
Substituindo a forma da Bernoulli obtemos (cada X_i vale 0 ou 1):
L(p)=\prod_{i=1}^{n} p^{X_i}(1-p)^{1-X_i}.
Agora simplificamos somando expoentes. Defina S=\sum_{i=1}^{n} X_i, que é o número de sucessos observados. Então:
Comentário didático: aqui S conta quantos 1's aparecem; se, por exemplo, em n=10 observações houve 7 sucessos, então S=7 e a verossimilhança é p^{7}(1-p)^{3}.
Passo 3
Tomar o logaritmo da verossimilhança (log-verossimilhança) para facilitar derivação. Logaritmo é útil porque transforma produtos em somas e tem a mesma posição do máximo (log é monotonicamente crescente):
\ell(p)=\ln L(p)=\ln\bigl(p^{S}(1-p)^{n-S}\bigr)=S\ln p + (n-S)\ln(1-p).
Agora derivamos \ell(p) em relação a p e igualamos a zero para encontrar pontos críticos:
\frac{d\ell}{dp}=\frac{S}{p} - \frac{n-S}{1-p}.
Igualando a zero:
\frac{S}{p} - \frac{n-S}{1-p}=0.
Resolver essa equação passo a passo. Passo 1: passar um termo pro outro:
Essa quantidade é negativa para 0<p<1 (porque soma de termos negativos), portanto o ponto crítico é um máximo local. Comentário sobre extremos: se S=0 então todas as observações são 0 e a verossimilhança é máxima em p=0; se S=n então todas são 1 e o máximo ocorre em p=1. A fórmula \hat p=S/n também engloba esses casos (0 e 1).
Passo 5
Dicas práticas para a prova e interpretação:
Método rápido: conte os sucessos S e divida por n. Esse é o MLE.
Em palavras: a melhor estimativa de p pela verossimilhança é a frequência relativa de sucessos na amostra.
Exemplo numérico curto: se n=10 e as observações são 1,0,1,1,0,1,0,1,1,0, então S=6 e \hat p=6/10=0,6.
Propriedades úteis (curtas): \mathbb{E}[\hat p]=p (é não viciado) e \operatorname{Var}(\hat p)=\dfrac{p(1-p)}{n}.