Seja uma variável aleatória contínua cuja é dada por:
Nessas condições, pede-se:
(b) P(1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) definida por partes. Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade de $ X $ estar entre 1 e 3, ou seja, $ P(1 < X \leq 3) $. Para isso, vamos precisar entender como integrar a f.d.p nesse intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para achar $ P(1 < X \leq 3) $, precisamos calcular a integral da função de densidade de 1 até 3. Porém, como a f.d.p é definida por duas partes diferentes nesse intervalo (de 1 a 2 e de 2 a 3), vamos dividir a integral em duas partes:
P(1 < X <= 3)
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral: integral1^2 x3 , dx.
Primeiro, lembre-se que integrar x3 em relação a x é simples:
integral x3 , dx = 13 cdot x^22 = x^26
Agora, avaliamos de 1 a 2:
x^26 |1^2 = 2^26 - 1^26 = 46 - 16 = 36 = 12
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda integral: integral2^3 (k - x)^28 , dx.
Primeiro, vamos expandir (k - x)^2:
(k - x)^2 = k^2 - 2k x + x^2
Então, a integral fica:
integral k^2 - 2k x + x^28 , dx = 18 integral (k^2 - 2k x + x^2) , dx = 18 ( k^2 x - k x^2 + x^33 )