Uma variável aleatória discreta X representa o número de chamadas atendidas por um operador em uma hora. A distribuição de probabilidades é:
x \mathbf{0} \mathbf{1} \mathbf{2} \mathbf{3}
P(X=x) 0.1 0.3 0.4 0.2

Perguntas:

  • Determine a função massa de probabilidade (fmp) e a função de distribuição acumulada (fda).
  • Calcule a esperança matemática E(X).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a função massa de probabilidade (fmp) de X e a função de distribuição acumulada (fda) de X; (2) calcular a esperança matemática E(X).\n
As informações fornecidas (retiradas da tabela do enunciado) são os possíveis valores de X e suas probabilidades:
\begin{array}{c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3\\hline P(X=x) & 0,1 & 0,3 & 0,4 & 0,2 \end{array}

Passo 2

O que é a função massa de probabilidade (fmp)? É a função que dá, para cada valor possível x da variável discreta X, a probabilidade p_X(x)=P(X=x). As propriedades importantes são: (i) p_X(x)\ge 0 para todo x e (ii) \sum_x p_X(x)=1. Vou escrever a fmp usando os dados da tabela (já que peguei os valores da tabela do enunciado).
p_X(0)=0,1,\qquad p_X(1)=0,3,\qquad p_X(2)=0,4,\qquad p_X(3)=0,2.
Verificação rápida da soma (propriedade (ii)):
0,1+0,3+0,4+0,2=1,0,
ou seja, as probabilidades somam 1 — está consistente.

Passo 3

O que é a função de distribuição acumulada (fda)? Para uma variável discreta X, a fda F_X(x) é definida por
F_X(x)=P(X\le x)=\sum_{t:\,t\le x} p_X(t).
Ou seja, para cada ponto x calculamos a soma das probabilidades de todos os valores menores ou iguais a x. Vou calcular F_X(x) nos pontos relevantes (os valores de suporte da variável) e também indicar o comportamento fora desses pontos.
  • Para x<0 não há valores de X menores ou iguais a x, então
F_X(x)=0\quad\text{se }x<0.
  • Para 0\le x<1 apenas o valor 0 está \le x, então
F_X(x)=P(X\le x)=P(X=0)=p_X(0)=0,1.
Em particular F_X(0)=0,1.
  • Para 1\le x<2 os valores \{0,1\} estão \le x, então
F_X(x)=P(X\le x)=p_X(0)+p_X(1)=0,1+0,3=0,4.
Em particular F_X(1)=0,4.
  • Para 2\le x<3 os valores \{0,1,2\} estão \le x, então
F_X(x)=p_X(0)+p_X(1)+p_X(2)=0,1+0,3+0,4=0,8.
Em particular F_X(2)=0,8.
  • Para x\ge 3 todos os valores \{0,1,2,3\} estão \le x, então
F_X(x)=p_X(0)+p_X(1)+p_X(2)+p_X(3)=1,0.
Em particular F_X(3)=1,0 e F_X(x)=1 para x\ge 3.
Posso reunir a fda em forma de peças (valor típico para intervalos):
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 0,1, & 0\le x<1,\\[4pt] 0,4, & 1\le x<2,\\[4pt] 0,8, & 2\le x<3,\\[4pt] 1,0, & x\ge 3. \end{cases}]

Passo 4

O que é esperança matemática E(X)? Para uma variável discreta, é a média ponderada dos valores possíveis, cada valor ponderado pela sua probabilidade. A fórmula é
E(X)=\sum_x x\,p_X(x),
onde a soma é sobre todos os valores possíveis x da variável. Aqui cada símbolo significa: x é um valor que X pode assumir e p_X(x) é a probabilidade associada a esse x.
Vou aplicar a fórmula usando os valores da tabela (novamente, os dados foram retirados da tabela do enunciado):
Calculemos cada termo x\cdot p_X(x):
0\cdot p_X(0)=0\cdot 0,1=0,0,
1\cdot p_X(1)=1\cdot 0,3=0,3,
2\cdot p_X(2)=2\cdot 0,4=0,8,
3\cdot p_X(3)=3\cdot 0,2=0,6.
Agora somamos:
E(X)=0,0+0,3+0,8+0,6=1,7.
Interpretação rápida: em média, o operador atende 1,7 chamadas por hora — pense nisso como uma média ponderada das possibilidades.

Passo 5

Recapitulando de forma prática: já escrevemos a fmp (as probabilidades individuais), construímos a fda somando essas probabilidades progressivamente e calculamos a esperança como soma dos produtos x\cdot p_X(x). Se você quiser, podemos fazer agora mais alguns exercícios parecidos para treinar esse processo (fmp → fda → esperança) até você ficar confiante.

Resposta

fmp: p_X(0)=0,1,\;p_X(1)=0,3,\;p_X(2)=0,4,\;p_X(3)=0,2\)\n fda: \(F_X(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\[4pt]0,1,&0\le x<1,\\[4pt]0,4,&1\le x<2,\\[4pt]0,8,&2\le x<3,\\[4pt]1,0,&x\ge 3,\end{cases}\n
E(X)=1,7]

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