Uma variável aleatória discreta X representa o número de chamadas atendidas por um operador em uma hora. A distribuição de probabilidades é:
x
\mathbf{0}
\mathbf{1}
\mathbf{2}
\mathbf{3}
P(X=x)
0.1
0.3
0.4
0.2
Perguntas:
Determine a função massa de probabilidade (fmp) e a função de distribuição acumulada (fda).
Calcule a esperança matemática E(X).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a função massa de probabilidade (fmp) de X e a função de distribuição acumulada (fda) de X; (2) calcular a esperança matemática E(X).\n
As informações fornecidas (retiradas da tabela do enunciado) são os possíveis valores de X e suas probabilidades:
O que é a função massa de probabilidade (fmp)? É a função que dá, para cada valor possível x da variável discreta X, a probabilidade p_X(x)=P(X=x). As propriedades importantes são: (i) p_X(x)\ge 0 para todo x e (ii) \sum_x p_X(x)=1. Vou escrever a fmp usando os dados da tabela (já que peguei os valores da tabela do enunciado).
ou seja, as probabilidades somam 1 — está consistente.
Passo 3
O que é a função de distribuição acumulada (fda)? Para uma variável discreta X, a fda F_X(x) é definida por
F_X(x)=P(X\le x)=\sum_{t:\,t\le x} p_X(t).
Ou seja, para cada ponto x calculamos a soma das probabilidades de todos os valores menores ou iguais a x. Vou calcular F_X(x) nos pontos relevantes (os valores de suporte da variável) e também indicar o comportamento fora desses pontos.
Para x<0 não há valores de X menores ou iguais a x, então
F_X(x)=0\quad\text{se }x<0.
Para 0\le x<1 apenas o valor 0 está \le x, então
F_X(x)=P(X\le x)=P(X=0)=p_X(0)=0,1.
Em particular F_X(0)=0,1.
Para 1\le x<2 os valores \{0,1\} estão \le x, então
F_X(x)=P(X\le x)=p_X(0)+p_X(1)=0,1+0,3=0,4.
Em particular F_X(1)=0,4.
Para 2\le x<3 os valores \{0,1,2\} estão \le x, então
F_X(x)=p_X(0)+p_X(1)+p_X(2)=0,1+0,3+0,4=0,8.
Em particular F_X(2)=0,8.
Para x\ge 3 todos os valores \{0,1,2,3\} estão \le x, então
F_X(x)=p_X(0)+p_X(1)+p_X(2)+p_X(3)=1,0.
Em particular F_X(3)=1,0 e F_X(x)=1 para x\ge 3.
Posso reunir a fda em forma de peças (valor típico para intervalos):
O que é esperança matemática E(X)? Para uma variável discreta, é a média ponderada dos valores possíveis, cada valor ponderado pela sua probabilidade. A fórmula é
E(X)=\sum_x x\,p_X(x),
onde a soma é sobre todos os valores possíveis x da variável. Aqui cada símbolo significa: x é um valor que X pode assumir e p_X(x) é a probabilidade associada a esse x.
Vou aplicar a fórmula usando os valores da tabela (novamente, os dados foram retirados da tabela do enunciado):
Calculemos cada termo x\cdot p_X(x):
0\cdot p_X(0)=0\cdot 0,1=0,0,
1\cdot p_X(1)=1\cdot 0,3=0,3,
2\cdot p_X(2)=2\cdot 0,4=0,8,
3\cdot p_X(3)=3\cdot 0,2=0,6.
Agora somamos:
E(X)=0,0+0,3+0,8+0,6=1,7.
Interpretação rápida: em média, o operador atende 1,7 chamadas por hora — pense nisso como uma média ponderada das possibilidades.
Passo 5
Recapitulando de forma prática: já escrevemos a fmp (as probabilidades individuais), construímos a fda somando essas probabilidades progressivamente e calculamos a esperança como soma dos produtos x\cdot p_X(x). Se você quiser, podemos fazer agora mais alguns exercícios parecidos para treinar esse processo (fmp → fda → esperança) até você ficar confiante.