A quantidade de cerveja vendida diariamente numa feira ( em milhares de litros) é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=l0 ; x<0 k x ; 0 <= x <= 4 k (12-2 x) ; 4 <= x <= 6 0 ; x>6
Obtenha o valor de k.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a quantidade de cerveja vendida (em milhares de litros) tem densidade de probabilidade
f(x)= 0, & x<0, k,x, & 0 <= x <= 4, k,(12-2x), & 4 <= x <= 6, 0, & x>6,
e pede para achar o valor de integral-infty^+infty f(x),dx = 1 .
Conteúdo: vamos usar o fato de que, para qualquer densidade de probabilidade, a área total sob a curva tem de ser 1, ou seja
Nesse caso, basta integrar de 0 a 4 e de 4 a 6, somar os resultados e igualar a 1.

Passo 2

Calcular a primeira integral:
integral0^4 k,x ,dx
Teoria rápida: integral0^4 k,x ,dx = k ,l[x^22r]0^4 = k ,l(4^22-0r) = k times 8 .
Então

Passo 3

Agora a segunda integral:
integral4^6 k,(12-2x),dx
A teoria: integral4^6 k,(12-2x),dx = k;l[12x - x^2r]4^6 = k,l[(12cdot6 - 6^2) - (12cdot4 - 4^2)r] = k,l[(72 - 36) - (48 - 16)r] = k,(36 - 32) = k times 4 .
Logo

Passo 4

Somamos as duas áreas e igualamos a 1:
underbracekcdot 8integral0^4 + underbracekcdot 4integral4^6 = 1 Longrightarrow 12,k = 1 Longrightarrow k = 112

Resposta

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