Seja X uma variável aleatória contínua que indica a carga de processamento (em GHz) de um servidor durante o monitoramento, com a seguinte função densidade de probabilidade:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{r} a x ; 0 \leq x<1 \\\ a ; 1 \leq x<2 \\\\ -a x+3 a ; 2 \leq x<3 \\\\ 0 ; \text { c.c. } \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado fornece a função densidade de probabilidade (pdf) de uma variável aleatória contínua X (carga em GHz) como
\mathrm{f}(x)=\left\{\begin{array}{ll} a x, & 0 \le x<1,\\[4pt] a, & 1 \le x<2,\\[4pt] -a x+3a, & 2 \le x<3,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{array}\right.
Aqui o coeficiente a é desconhecido.
Embora o enunciado não pergunte explicitamente, as tarefas naturais e úteis para este tipo de exercício são:
Determinar o valor de a (normalização da pdf).
Verificar que \mathrm{f}(x) é não negativa (condição de pdf).
Obter a função distribuição acumulada (CDF) F(x)=P(X\le x), de forma piecewise.
Calcular a esperança \mathbb{E}[X] e a variância \mathrm{Var}(X).
Dar alguns exemplos práticos de probabilidades usando a CDF (ex.: P(0{,}5<X<2{,}5) e P(X\le 1{,}5)).]
Passo 2
Cálculo de a pela condição de normalização: a integral da pdf em toda a reta deve ser 1. Escrevemos
\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{f}(x)\,dx =\int_{0}^{1} a x\,dx+\int_{1}^{2} a\,dx+\int_{2}^{3}(-a x+3a)\,dx=1.
Agora calculamos cada integral separadamente (mostrar passos para poder replicar na prova).
Primeira integral:
\int_{0}^{1} a x\,dx = a\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=a\cdot\frac{1}{2}=\frac{a}{2}.