O tempo de resposta de um sistema computacional em segundos é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p):
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{r}k x ; 0 \leq x<4 \\\ k(12-2 x) ; 4 \leq x<6 \\\\ 0 ; \text { c.c. }\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de uma variável aleatória contínua (tempo de resposta) por partes:
\mathrm{f}(x)=\begin{cases} k x, & 0 \le x<4,\\[4pt] k(12-2x), & 4 \le x<6,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
Não há perguntas explícitas no enunciado, então vou calcular as coisas que normalmente se pede para uma f.d.p.: (i) o valor do constante de normalização k; (ii) a função de distribuição acumulada F(x) (cdf), peça por peça; (iii) a esperança \mathbb{E}(X); (iv) a variância \mathrm{Var}(X) e o desvio padrão. Vou explicar passo a passo as fórmulas e como aplicá‑las.]

Passo 2

Normalização da f.d.p. — motivo e cálculo.
Uma f.d.p. deve satisfazer
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui f(x) é zero fora de [0,6), então basta integrar nas duas partes:
\int_{0}^{4} kx\,dx + \int_{4}^{6} k(12-2x)\,dx = 1.
Vou calcular cada integral separadamente.
Calculemos \displaystyle \int_{0}^{4} kx\,dx:
\int_{0}^{4} kx\,dx = k\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = k\cdot\frac{4^{2}}{2} = k\cdot\frac{16}{2} = 8k.
Calculemos \displaystyle \int_{4}^{6} k(12-2x)\,dx:
\int_{4}^{6} k(12-2x)\,dx = k\left[12x - x^{2}\right]_{4}^{6}.
Avaliação: em x=6 temos 12\cdot6 - 6^{2}=72-36=36. Em x=4 temos 12\cdot4 - 4^{2}=48-16=32. Diferença 36-32=4. Logo essa integral é 4k.
Somando:
8k + 4k = 12k = 1 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{1}{12}.

Passo 3

Construção da função de distribuição acumulada \,F(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt. Vou fazer peça por peça.
(i) Para x<0: F(x)=0 (pois toda a massa está em [0,6)).
(ii) Para 0\le x<4: integra-se de 0 até x usando f(t)=k t:
F(x)=\int_{0}^{x} k t\,dt = k\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{12}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{24}.
(iii) Para 4\le x<6: F(x) é a massa acumulada até 4 mais a integral de 4 até x usando f(t)=k(12-2t).
Primeiro, F(4^-)=\dfrac{4^{2}}{24}=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}.
Agora a contribuição de 4 até x:
\int_{4}^{x} k(12-2t)\,dt = k\left[12t - t^{2}\right]_{4}^{x} = \frac{1}{12}\bigl(12x - x^{2} - (48-16)\bigr)=\frac{1}{12}\bigl(12x - x^{2} -32\bigr).
Simplificando:
\frac{1}{12}(12x - x^{2} -32)=x - \frac{x^{2}}{12} - \frac{8}{3}.
Somando F(4^-)=\tfrac{2}{3} obtemos, para 4\le x<6:
F(x)=\frac{2}{3} + \left( x - \frac{x^{2}}{12} - \frac{8}{3}\right) = x - \frac{x^{2}}{12} -2.
Verificação rápida em x=6: 6 - 36/12 -2 =6 -3 -2 =1, como esperado.
(iv) Para x\ge 6: F(x)=1.
Resumo da cdf:
F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \dfrac{x^{2}}{24}, & 0\le x<4,\\[6pt] x - \dfrac{x^{2}}{12} -2, & 4\le x<6,\\[4pt] 1, & x\ge 6. \end{cases}]

Passo 4

Esperança \mathbb{E}(X) — definição e cálculo.
Definição: para variável contínua com f.d.p. f(x),
\mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx.
Aqui isso vira duas integrais nas partes dadas:
\mathbb{E}(X)=\int_{0}^{4} x\cdot kx\,dx + \int_{4}^{6} x\cdot k(12-2x)\,dx = k\int_{0}^{4} x^{2}dx + k\int_{4}^{6} (12x -2x^{2})\,dx.
Calculemos term‑a‑term com k=\tfrac{1}{12}.
Primeira integral:
\int_{0}^{4} x^{2}dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4} = \frac{64}{3}.
Multiplicando por k: \dfrac{1}{12}\cdot \dfrac{64}{3} = \dfrac{64}{36}=\dfrac{16}{9}.
Segunda integral:
\int_{4}^{6} (12x-2x^{2})\,dx = \left[6x^{2} - \frac{2}{3}x^{3}\right]_{4}^{6}.
Avaliação em 6: 6\cdot36 - \tfrac{2}{3}\cdot216 = 216 -144 =72.
Avaliação em 4: 6\cdot16 - \tfrac{2}{3}\cdot64 =96 - \tfrac{128}{3} = \tfrac{288-128}{3}=\tfrac{160}{3}.
Diferença: 72 - \tfrac{160}{3} = \tfrac{216-160}{3}=\tfrac{56}{3}.
Multiplicando por k: \dfrac{1}{12}\cdot \dfrac{56}{3}=\dfrac{56}{36}=\dfrac{14}{9}.
Somando as duas partes:
\mathbb{E}(X)=\frac{16}{9} + \frac{14}{9} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} \approx 3{,}333\ldots

Passo 5

Cálculo de \mathbb{E}(X^{2}) (necessário para a variância).
Definição:
\mathbb{E}(X^{2})=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x)\,dx.
Aqui:
\mathbb{E}(X^{2})=k\int_{0}^{4} x^{3}dx + k\int_{4}^{6} x^{2}(12-2x)\,dx.
Primeira integral:
\int_{0}^{4} x^{3}dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{4} = \frac{256}{4} = 64,
multiplicando por k=\tfrac{1}{12} \dfrac{64}{12}=\dfrac{16}{3}.
Segunda integral:
\int_{4}^{6} (12x^{2} - 2x^{3})\,dx = \left[4x^{3} - \frac{1}{2}x^{4}\right]_{4}^{6}.
Avaliação em 6: 4\cdot216 - \tfrac{1}{2}\cdot1296 = 864 - 648 = 216.
Avaliação em 4: 4\cdot64 - \tfrac{1}{2}\cdot256 = 256 -128 =128.
Diferença: 216-128=88. Multiplicando por k: \dfrac{88}{12}=\dfrac{22}{3}.
Somando:
\mathbb{E}(X^{2}) = \frac{16}{3} + \frac{22}{3} = \frac{38}{3} \approx 12{,}666\ldots

Passo 6

Variância e desvio padrão — fórmulas e cálculo.
Definição da variância:
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^{2}) - \bigl(\mathbb{E}(X)\bigr)^{2}.
Substituindo os valores encontrados:
\mathrm{Var}(X)=\frac{38}{3} - \left(\frac{10}{3}\right)^{2} = \frac{38}{3} - \frac{100}{9} = \frac{114-100}{9} = \frac{14}{9}.
O desvio padrão é a raiz quadrada:
\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{\frac{14}{9}} = \frac{\sqrt{14}}{3} \approx 1{,}247\ldots

Passo 7

Checagens rápidas (sanidade):
  • Integrando a f.d.p. com k=\tfrac{1}{12} obtemos 1 (já feito).
  • A cdf é contínua em x=4: F(4^-)=4^{2}/24=16/24=2/3 e F(4^+)=4 - 16/12 -2 =4 -4/3 -2 = (4-2) -4/3 =2 -4/3 =2/3. Portanto sem salto em 4.
  • Em x=6 a cdf dá 1, como deve ser.

Resposta

k=\dfrac{1}{12}\)\newline \[F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \dfrac{x^{2}}{24}, & 0\le x<4,\\[6pt] x - \dfrac{x^{2}}{12} -2, & 4\le x<6,\\[4pt] 1, & x\ge 6, \end{cases}\newline
\mathbb{E}(X)=\dfrac{10}{3}\]\newline \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{14}{9}\newline
\text{Desvio padrão}=\dfrac{\sqrt{14}}{3}ã]

Exercícios relacionados