O tempo de resposta de um sistema computacional em segundos é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p): \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{r}k x ; 0 \leq x<4 \\\ k(12-2 x) ; 4 \leq x<6 \\\\ 0 ; \text { c.c. }\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a densidade de uma variável aleatória contínua (tempo de resposta) por partes:
Não há perguntas explícitas no enunciado, então vou calcular as coisas que normalmente se pede para uma f.d.p.: (i) o valor do constante de normalização k; (ii) a função de distribuição acumulada F(x) (cdf), peça por peça; (iii) a esperança \mathbb{E}(X); (iv) a variância \mathrm{Var}(X) e o desvio padrão. Vou explicar passo a passo as fórmulas e como aplicá‑las.]
Passo 2
Normalização da f.d.p. — motivo e cálculo.
Uma f.d.p. deve satisfazer
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui f(x) é zero fora de [0,6), então basta integrar nas duas partes:
Construção da função de distribuição acumulada \,F(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt. Vou fazer peça por peça.
(i) Para x<0: F(x)=0 (pois toda a massa está em [0,6)).
(ii) Para 0\le x<4: integra-se de 0 até x usando f(t)=k t:
F(x)=\int_{0}^{x} k t\,dt = k\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{12}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{24}.
(iii) Para 4\le x<6: F(x) é a massa acumulada até 4 mais a integral de 4 até x usando f(t)=k(12-2t).
Primeiro, F(4^-)=\dfrac{4^{2}}{24}=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}.
Agora a contribuição de 4 até x: