Seja
uma variável aleatória contínua não negativa com função densidade
, e
. Determine
, a função densidade de probabilidade de
em função de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só clara:
- Dado:
é uma variável aleatória contínua, não negativa, com função densidade (ou seja, é a densidade de para ). - Definição:
. - Pedido: determinar
, a função densidade de , em função de .
Observações extra (que procedem do enunciado): como
é não negativa,
também será não negativa quando
. Neste desenvolvimento vou assumir
(caso contrário a transformação precisa de tratamento especial — comentei no final).
Passo 2
Escolha do método: vou usar o método via função de distribuição acumulada (CDF). Por quê? Porque para transformações monotônicas simples (aqui,
é crescente em
quando
) é direto obter
a partir de
e depois diferenciar para achar
. Esse é o método básico e elementar, fácil de aplicar em prova e que usa só o conceito de probabilidade e derivada (regra da cadeia).
Antes de calcular, lembro o que são as quantidades:
-
é a função de distribuição de . -
é a função de distribuição de . - A densidade
é a derivada de : (quando existir).
Passo 3
Calcular
.
Para
temos
, porque
.
Para
usamos a definição de
:
Como assumi
e
, a função
é estritamente crescente em
. Portanto, podemos tomar a raiz enésima dos dois lados mantendo a desigualdade:
Logo, para
:
Passo 4
Obter
diferenciando
.
Para
já sabemos
.
Para
diferenciamos a expressão
. Aplicamos a regra da cadeia: se
com
, então
Mas
(definição de densidade). E
pela regra de potência. Assim, para
,
Explicando em palavras (intuição): probabilidades pequenas se conservam pela transformação. Se
corresponde a
, então
e
dá o fator de escala
.
Passo 5
Escrever a resposta final de forma limpa e verificar rapidamente a normalização (checar mentalmente que integra para
): se fazemos a mudança de variável
então
, então a fórmula preserva a normalização — bom sinal.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (opcional mas didático): se
Exp
com
para
, então
Isso mostra como aplicar a fórmula diretamente na prova.
Passo 7
Observações finais sobre casos diferentes:
- Se
a expressão é constante (exceto em 0) e o problema muda de natureza — normalmente não consideramos aqui. - Se
a transformação é decrescente em ; então ainda vale a ideia geral, mas deve-se usar a inversa e o valor absoluto do jacobiano: . Além disso há cuidado com o ponto quando (pode levar a infinito), então esse caso precisa de análise separada. Por isso a derivação acima foi feita explicitando a hipótese .