Seja X uma variável aleatória contínua não negativa com função densidade f_{X}, e Y=X^{n}. Determine f_{Y}, a função densidade de probabilidade de Y em função de X.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só clara:
  • Dado: X é uma variável aleatória contínua, não negativa, com função densidade f_X (ou seja, f_X(x) é a densidade de X para x\ge 0).
  • Definição: Y = X^{n}.
  • Pedido: determinar f_Y, a função densidade de Y, em função de f_X.
Observações extra (que procedem do enunciado): como X é não negativa, Y=X^{n} também será não negativa quando n>0. Neste desenvolvimento vou assumir n>0 (caso contrário a transformação precisa de tratamento especial — comentei no final).

Passo 2

Escolha do método: vou usar o método via função de distribuição acumulada (CDF). Por quê? Porque para transformações monotônicas simples (aqui, x\mapsto x^n é crescente em [0,\infty) quando n>0) é direto obter F_Y a partir de F_X e depois diferenciar para achar f_Y. Esse é o método básico e elementar, fácil de aplicar em prova e que usa só o conceito de probabilidade e derivada (regra da cadeia).
Antes de calcular, lembro o que são as quantidades:
  • F_X(x)=P(X\le x) é a função de distribuição de X.
  • F_Y(y)=P(Y\le y) é a função de distribuição de Y.
  • A densidade f_Y é a derivada de F_Y: f_Y(y)=\dfrac{d}{dy}F_Y(y) (quando existir).

Passo 3

Calcular F_Y(y).
Para y<0 temos F_Y(y)=P(Y\le y)=0, porque Y\ge 0.
Para y\ge 0 usamos a definição de Y:
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X^{n}\le y).
Como assumi n>0 e X\ge 0, a função g(x)=x^{n} é estritamente crescente em [0,\infty). Portanto, podemos tomar a raiz enésima dos dois lados mantendo a desigualdade:
X^{n}\le y \quad\Longleftrightarrow\quad X\le y^{1/n}.
Logo, para y\ge 0:
F_Y(y)=P(X\le y^{1/n})=F_X\bigl(y^{1/n}\bigr).

Passo 4

Obter f_Y(y) diferenciando F_Y(y).
Para y<0 já sabemos f_Y(y)=0.
Para y>0 diferenciamos a expressão F_Y(y)=F_X\bigl(y^{1/n}\bigr). Aplicamos a regra da cadeia: se H(y)=F_X\bigl(h(y)\bigr) com h(y)=y^{1/n}, então
\frac{d}{dy}H(y)=F_X'(h(y))\cdot h'(y).
Mas F_X'(x)=f_X(x) (definição de densidade). E
h(y)=y^{1/n}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=\frac{1}{n}\,y^{\frac{1}{n}-1},
pela regra de potência. Assim, para y>0,
f_Y(y)=f_X\bigl(y^{1/n}\bigr)\cdot\frac{1}{n}\,y^{\frac{1}{n}-1}.
Explicando em palavras (intuição): probabilidades pequenas se conservam pela transformação. Se y corresponde a x=y^{1/n}, então f_Y(y)\,dy\approx f_X(x)\,dx e dx/dy=h'(y) dá o fator de escala \dfrac{1}{n}y^{1/n-1}.

Passo 5

Escrever a resposta final de forma limpa e verificar rapidamente a normalização (checar mentalmente que integra para 1): se fazemos a mudança de variável x=y^{1/n} então \int_{0}^{\infty} f_Y(y)\,dy=\int_{0}^{\infty} f_X(x)\,dx=1, então a fórmula preserva a normalização — bom sinal.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (opcional mas didático): se X\sim Exp (\lambda) com f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x} para x\ge 0, então
f_Y(y)=\frac{1}{n}\,y^{\frac{1}{n}-1}\,\lambda \exp\bigl(-\lambda y^{1/n}\bigr),\qquad y\ge 0.
Isso mostra como aplicar a fórmula diretamente na prova.

Passo 7

Observações finais sobre casos diferentes:
  • Se n=0 a expressão X^0 é constante 1 (exceto em 0) e o problema muda de natureza — normalmente não consideramos n=0 aqui.
  • Se n<0 a transformação x\mapsto x^{n} é decrescente em (0,\infty); então ainda vale a ideia geral, mas deve-se usar a inversa e o valor absoluto do jacobiano: f_Y(y)=f_X\bigl(y^{1/n}\bigr)\cdot\left|\dfrac{d}{dy}y^{1/n}\right|. Além disso há cuidado com o ponto x=0 quando n<0 (pode levar a infinito), então esse caso precisa de análise separada. Por isso a derivação acima foi feita explicitando a hipótese n>0.

Resposta

f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{1}{n}\,y^{\frac{1}{n}-1}\,f_X\bigl(y^{1/n}\bigr), & y\ge 0,\\[8pt] 0, & y<0, \end{cases} \qquad\text{(para \(n>0\)).}]

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