Seja X uma variável aleatória contínua tal que:

Calcular E(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que X é uma v.a. contínua cuja função de distribuição acumulada (CDF) é
F(x)= 0, & x<0, dfrac5k2,x, & 0<= x<5, -dfrack2,x^2 +10k,x -25k, & 5<= x<10, 25k, & x>=10
A matéria é: variáveis aleatórias contínuas, como extrair a densidade a partir da CDF e calcular a esperança .
O que vamos precisar:
  • A constante (pra CDF chegar a 1 no infinito)
  • A densidade
  • A fórmula dividida nos intervalos onde existe.

Passo 2

Primeiro, achar 25k = 1 Longrightarrow k = 125 . A CDF tem que tender a 1 quando . Como para vale , imponho

Passo 3

Agora derivar F(x)=5k2,x ;Longrightarrow; f(x)=ddxl(tfrac5k2xr) =5k2 pra obter a densidade F(x)=-k2,x^2+10k,x-25k ;Longrightarrow; f(x)=-k,x +10k . Lembra que f(x)= 52cdot125=110, & 0<= x<5, -125,x + 1025 = -x+1025, & 5<= x<10, 0, & caso contrário . Então:
Para :
Para :
E para fora desses intervalos .
Substituindo , fica
á

Passo 4

Calcular E(X) =integral0^5 xcdot110,dx ;+; integral5^10 xcdot-x+1025,dx . Como l(-tfracx^33+5x^2r)|5^10 =l(-tfrac10003+500r) ;-;l(-tfrac1253+125r) =2503 só é não-nula em E(X) = 54 + 103 = 1512 + 4012 = 5512 , dividimos em e :
Vamos em duas partes:
    • Calcule
    • Avaliando de 5 a 10:
    • Então o integral vale
Somando as duas partes:

Resposta

boxedE(X)=5512

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