Seja X uma variável aleatória contínua tal que:
Calcular E(X).
Calcular E(X).
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que X é uma v.a. contínua cuja função de distribuição acumulada (CDF) é
A matéria é: variáveis aleatórias contínuas, como extrair a densidade a partir da CDF e calcular a esperança
.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A constante
(pra CDF chegar a 1 no infinito) - A densidade
- A fórmula
dividida nos intervalos onde existe.
Passo 2
Primeiro, achar
25k = 1 Longrightarrow k = 125 . A CDF tem que tender a 1 quando
. Como para
vale
, imponho
Passo 3
Agora derivar
F(x)=5k2,x ;Longrightarrow; f(x)=ddxl(tfrac5k2xr) =5k2 pra obter a densidade
F(x)=-k2,x^2+10k,x-25k ;Longrightarrow; f(x)=-k,x +10k . Lembra que
f(x)= 52cdot125=110, & 0<= x<5, -125,x + 1025 = -x+1025, & 5<= x<10, 0, & caso contrário . Então:
Para :
Para
Para
:
E para fora desses intervalos
.
Substituindo
, fica
Passo 4
Calcular
E(X) =integral0^5 xcdot110,dx ;+; integral5^10 xcdot-x+1025,dx . Como
l(-tfracx^33+5x^2r)|5^10 =l(-tfrac10003+500r) ;-;l(-tfrac1253+125r) =2503 só é não-nula em
E(X) = 54 + 103 = 1512 + 4012 = 5512 , dividimos em
e
:
Vamos em duas partes:
-
-
- Calcule
- Avaliando de 5 a 10:
- Então o integral vale
- Calcule
Somando as duas partes: