X é uma variável aleatória discreta, tal que a função de probabilidade é dada por:

Obtenha a função acumulada de X.

Passo 1

Beleza, o que o enunciado tá pedindo? A gente tem uma variável discreta X que só assume valores 1,2,3,4 com
kcdot2^xx!,&x=1,2,3,40,&caso contrárioá
E a gente quer a função acumulada .
Conteúdo: probabilidade discreta, normalização de função massa e definição de cdf.
O que vamos precisar:
  1. Encontrar fazendo .
  2. Calcular cada .
  3. Montar somando essas probabilidades de acordo com o valor de .

Passo 2

Normalização: como a soma de todas as probabilidades deve dar 1, fazemos
sumx=1^4 k2^xx!=1 Longrightarrow kl(2^11!+2^22!+2^33!+2^44!r)=1
Calculemos o parêntese:
21+42+86+1624 =2+2+tfrac43+tfrac23 =4+tfrac63=4+2=6
Então k=tfrac16 , logo

Passo 3

Agora achamos cada p(1)=tfrac16cdot2^11!=tfrac26=tfrac13, p(2)=tfrac16cdot42=tfrac26=tfrac13, :
p(3)=tfrac16cdot86=tfrac836=tfrac29, p(4)=tfrac16cdot1624=tfrac16144=tfrac19

Passo 4

Definição de cdf em variável discreta:
F(x)=P(X<= x)=sumi,:,i<= x p(i)
Como X só toma 1,2,3,4, a gente faz por intervalos de :
  • Se , não cabe nem 1: .
  • Se , só entra .
  • Se , entra .
  • Se , entra .
  • Se , entram todas: .

Resposta

F(x)= 0, & x<1,[6pt] tfrac13, & 1<= x<2,[6pt] tfrac23, & 2<= x<3,[6pt] tfrac89, & 3<= x<4,[6pt] 1, & x>=4

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